Página — Matematica 3° Secundaria (pág. 38)

Formalización

Una homotecia de centro O y razónk, denotada con H(O;k),es la transformación que hace corresponder a cada punto p otro punto P,alineado con Oy P, de forma que OP^{\prime}=k\cdot OP

• Si 0<k<1 ,la figura homotética es de menor tamano que la original.

Si k=1 , la figura homotética es congruente a la original.

Si k>1 , la figura homotética es de mayor tamaño que la original.

En una homotecia se conserva la forma;además,las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Ejemplo El gráfico muestra la homotecia H(O;\frac{4}{3}) )del cuadrilátero ABCD de coordenadas A(O; 3), B(3; 3),

C(6;0)\lor D(3;6)

Los vértices del cuadrilátero obtenido serán:

\begin{aligned}A^{\prime}&=\frac{4}{3}(0;3)=(0;4),\\B^{\prime}&=\frac{4}{3}(3;3)=(4;4),\\C^{\prime}&=\frac{4}{3}(6;0)=(8;0),\\D^{\prime}&=\frac{4}{3}(3;6)=(4;8).\end{aligned}

Situación B: Graficamos una homotecia

El profesor Martínles pide a sus estudiantes que grafiguen la homotecia, con centro en el origen de coordenadas y razón igual a 2, de un triángulo de vértices A(3; 2),B(6; 5)y C(8; 3).iCuáles serán los vértices del triángulo obtenido?

A continuación, analizamos los procedimientos planteados.

Resolución

Graficamos un diagrama cartesiano.

Trazamos el triángulo en el plano cartesiano a partir de sus vértices A(3;2),B(6;5)yC(8;3).

Desde el centro de homotecia (origen de coordenadas),trazamos rectas proyectadas hacia cada vértice del triángulo.

Luego,como k=2 , duplicamos la distancia que hay entre el centro de homotecia y cada vértice para obtener el nuevo triángulo.

Calculamos los vértices del nuevo triángulo:

\begin{aligned}&A^{\prime}=2\times A(3;2)=(6;4)\\&B^{\prime}=2\times B(6;5)=(12;10)\\&C^{\prime}=2\times C(8;3)=(16;6)\\ \end{aligned}

Ahora, respondemos la siguiente pregunta:

1.Compara Ios triángulos ABC y A'B'C': describe quépropiedades comunes tienen y qué propiedades los diferencian.







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Ficha 3Matemática 3

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización