Homotecia: definición, razón k y gráfica en el plano cartesiano

Formalización

Una homotecia de centro O y razón k, denotada H(O;k), es la transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P', alineado con O y P, de modo que OP' = k \cdot OP.

• Si 0 < k < 1, la figura homotética es de menor tamaño que la original.
• Si k = 1, la figura homotética es congruente a la original.
• Si k > 1, la figura homotética es de mayor tamaño que la original.

En una homotecia se conserva la forma; además, las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Ejemplo — Homotecia H(O;\frac{4}{3}) del cuadrilátero ABCD

Cuadrilátero de vértices A(0;3), B(3;3), C(6;0) y D(3;6), con centro en el origen.

1. La razón es k=\frac{4}{3}>1, por lo que la figura homotética será de mayor tamaño que ABCD.
2. Con centro en el origen, cada vértice se obtiene multiplicando sus coordenadas por k: P' = k \cdot P.
3. A' = \frac{4}{3}(0;3) = (0;4).
4. B' = \frac{4}{3}(3;3) = (4;4).
5. C' = \frac{4}{3}(6;0) = (8;0).
6. D' = \frac{4}{3}(3;6) = (4;8).

Situación B — Homotecia de razón k=2 del triángulo ABC

El profesor Martín pide graficar la homotecia de centro en el origen y razón 2 del triángulo A(3;2), B(6;5), C(8;3).

1. Se ubica el centro de homotecia en el origen de coordenadas O(0;0).
2. Se traza el triángulo en el plano cartesiano con A(3;2), B(6;5) y C(8;3).
3. Desde O se trazan rectas proyectadas hacia cada vértice del triángulo.
4. Como k=2, se duplica la distancia entre el centro y cada vértice, es decir, se multiplica cada coordenada por 2.
5. A' = 2 \times (3;2) = (6;4).
6. B' = 2 \times (6;5) = (12;10).
7. C' = 2 \times (8;3) = (16;6).

Respuesta: Los vértices del triángulo obtenido son A'(6;4), B'(12;10) y C'(16;6).

Compara los triángulos ABC y A'B'C': describe qué propiedades comunes tienen y qué propiedades los diferencian.

1. Lado AB = \sqrt{(6-3)^{2}+(5-2)^{2}} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}; lado A'B' = \sqrt{(12-6)^{2}+(10-4)^{2}} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}. La razón es \frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 2.
2. Lado BC = \sqrt{(8-6)^{2}+(3-5)^{2}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}; lado B'C' = \sqrt{(16-12)^{2}+(6-10)^{2}} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}. La razón también es 2.
3. Lado AC = \sqrt{(8-3)^{2}+(3-2)^{2}} = \sqrt{26}; lado A'C' = \sqrt{(16-6)^{2}+(6-4)^{2}} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}. Se mantiene la razón 2.
4. Al ser los tres lados proporcionales con la misma razón, los ángulos correspondientes son iguales: \angle A = \angle A', \angle B = \angle B', \angle C = \angle C'.
5. Perímetro: P_{ABC} = 5\sqrt{2}+\sqrt{26} \approx 12{,}17\,\text{u} y P_{A'B'C'} = 10\sqrt{2}+2\sqrt{26} \approx 24{,}34\,\text{u}, el doble.
6. Área: A_{ABC} = 6\,\text{u}^{2} y A_{A'B'C'} = 24\,\text{u}^{2}, es decir 2^{2}=4 veces mayor.