Homotecia, simetría axial, central y rotación (Ficha 3, pág. 39)

Al triángulo ABC se le aplica una homotecia con centro en el origen y razón k = 3. ¿Cuáles son las coordenadas del triángulo formado después de la homotecia?

Del gráfico se leen los vértices: A(2,1), B(3,2) y C(2,4).

1. Una homotecia de centro el origen y razón k transforma cada punto según la regla (x,y) \to (kx,\,ky); con k = 3: (x,y) \to (3x,\,3y).
2. Vértice A: A' = (3 \cdot 2,\; 3 \cdot 1) = (6,\,3).
3. Vértice B: B' = (3 \cdot 3,\; 3 \cdot 2) = (9,\,6).
4. Vértice C: C' = (3 \cdot 2,\; 3 \cdot 4) = (6,\,12).
5. Verificación: AB = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2} y A'B' = \sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}, luego \dfrac{A'B'}{AB} = 3 = k.

¿La homotecia de razón k = -1 con centro en el origen equivale a qué transformación?

1. Regla de la homotecia: P'(x,y) = (-1 \cdot x,\; -1 \cdot y) = (-x,\,-y).
2. El punto P' es el simétrico de P respecto del origen: el origen es el punto medio de \overline{PP'}. Eso es una simetría central de centro el origen (opción b).
3. Girar 180^\circ alrededor del origen también lleva (x,y) a (-x,-y), así que coincide con una rotación de 180^\circ (opción c).
4. Por lo tanto valen las dos afirmaciones anteriores.

Observa las figuras A, B, C y D. ¿Qué relación existe entre ellas?

1. A \to B: la figura se refleja manteniendo su base sobre la misma recta horizontal, pero con la punta al lado opuesto; es una simetría axial respecto de un eje vertical.
2. B \to C: la figura cambia de orientación y su base ya no es horizontal; la posición de la punta indica un giro, es una rotación.
3. C \to D: la figura aparece invertida respecto de un punto, como la imagen de C girada 180^\circ alrededor de un centro; es una simetría central.
4. La secuencia es entonces: simetría axial, rotación y simetría central.

¿En cuál de las siguientes figuras existe simetría central?

1. La simetría central exige un punto (centro) tal que al girar la figura 180^\circ alrededor de él la figura coincida consigo misma (cada punto y su opuesto tienen el mismo color y forma invertida).
2. En el patrón I el motivo se repite girando 180^\circ respecto del centro de la figura: cada elemento se corresponde con otro del mismo color y forma en posición diametralmente opuesta.
3. En los patrones II y III la repetición es por traslación y reflexión con deslizamiento, sin un centro que devuelva el mismo motivo girado medio giro; en IV la trama de cubos solo se reproduce por traslación.