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Mediana, media, moda y desviación estándar para datos agrupados

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

$Me\approx 156{,}43$ cm. 8) $Me\approx 2{,}87$ kg; $\bar{x}=2{,}86$ kg; $Mo=2{,}8$ kg; la mediana garantiza la mitad en rango ideal; $\sigma\approx 0{,}53$ kg (baja dispersión).

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Solución — Página 54

Fichas de Matemática 3 · 2024

Ejercicio 7

El histograma registra las estaturas (cm) de $40$ estudiantes de tercero de secundaria. Calcula la mediana.

Del gráfico se leen frecuencias acumuladas: $3;\,8;\,18;\,25;\,34;\,36;\,40$ . Reconstruyo las frecuencias absolutas restando acumuladas consecutivas: $f_i=3;\,5;\,10;\,7;\,9;\,2;\,4$ (suma $=40$ ).
Como $n=40$ , la posición central es $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ .
Ubico la clase mediana: la primera clase cuya frecuencia acumulada alcanza o supera $20$ es $[155;\,160[$ (allí $F_i=25$ ).
Datos de la clase mediana: $L_i=155$ , $A=5$ , $f_i=7$ y $F_{i-1}=18$ .
Sustituyo en la fórmula: $Me=L_i+\left(\frac{\tfrac{n}{2}-F_{i-1}}{f_i}\right)\cdot A=155+\left(\frac{20-18}{7}\right)\cdot 5$
Opero: $Me=155+\frac{2}{7}\cdot 5=155+1{,}43\approx 156{,}43$ .

Respuesta

$Me\approx 156{,}43\ \text{cm}$ .

Ejercicio 8

Masas (kg) de $20$ recién nacidos en la maternidad de Lima:

$2{,}8;\ 1{,}8;\ 3{,}8;\ 2{,}5;\ 2{,}7;\ 2{,}9;\ 3{,}5;\ 3{,}8;\ 3{,}1;\ 2{,}2$

$3{,}0;\ 2{,}6;\ 1{,}8;\ 3{,}3;\ 2{,}9;\ 3{,}7;\ 1{,}9;\ 2{,}6;\ 3{,}3;\ 2{,}3$

Parte 8.a

Tabla de frecuencias agrupadas

Rango: $3{,}8-1{,}8=2{,}0$ kg. Tomo amplitud $A=0{,}4$ y $5$ intervalos.
Ordeno los datos: $1{,}8;\,1{,}8;\,1{,}9;\,2{,}2;\,2{,}3;\,2{,}5;\,2{,}6;\,2{,}6;\,2{,}7;\,2{,}8;\,2{,}9;\,2{,}9;\,3{,}0;\,3{,}1;\,3{,}3;\,3{,}3;\,3{,}5;\,3{,}7;\,3{,}8;\,3{,}8$ .
Cuento frecuencias por intervalo: $3;\,3;\,6;\,4;\,4$ (total $20$ ).

Masa (kg)	Marca $x_i$	$f_i$	$F_i$
$[1{,}8;\,2{,}2[$	$2{,}0$	$3$	$3$
$[2{,}2;\,2{,}6[$	$2{,}4$	$3$	$6$
$[2{,}6;\,3{,}0[$	$2{,}8$	$6$	$12$
$[3{,}0;\,3{,}4[$	$3{,}2$	$4$	$16$
$[3{,}4;\,3{,}8]$	$3{,}6$	$4$	$20$
Total		$n=20$

Parte 8.b

Mediana agrupada

$\frac{n}{2}=\frac{20}{2}=10$ .
Primera $F_i\ge 10$ es $[2{,}6;\,3{,}0[$ , con $F_{i-1}=6$ , $f_i=6$ , $L_i=2{,}6$ , $A=0{,}4$ .
$Me=2{,}6+\left(\frac{10-6}{6}\right)\cdot 0{,}4=2{,}6+0{,}267\approx 2{,}87\ \text{kg}$

Respuesta (a–b): tabla agrupada y $Me\approx 2{,}87\ \text{kg}$ .

Parte 8.c

Media agrupada

$\sum f_i x_i = 3(2{,}0)+3(2{,}4)+6(2{,}8)+4(3{,}2)+4(3{,}6)=6+7{,}2+16{,}8+12{,}8+14{,}4=57{,}2$ .
$\bar{x}=\dfrac{57{,}2}{20}=2{,}86$ .

Respuesta

$\bar{x}=2{,}86\ \text{kg}$ .

Parte 8.d

Moda

La clase con mayor frecuencia es $[2{,}6;\,3{,}0[$ ( $f=6$ ); su marca es la moda.

Respuesta

$Mo=2{,}8\ \text{kg}$ .

Parte 8.e

¿Qué medida garantiza la mitad dentro del rango ideal $[2{,}5;\,4]$ kg?

La mediana: al dividir la muestra en dos mitades iguales, $Me\approx 2{,}87$ kg cae dentro de $[2{,}5;\,4]$ , lo que asegura que al menos el $50\,\%$ de los recién nacidos tiene masa ideal. La media ( $2{,}86$ ) y la moda ( $2{,}8$ ) también caen en el rango, pero por definición la mediana es la única que garantiza «la mitad».

Respuesta

la mediana.

Parte 8.f

Desviación estándar (datos agrupados, $\bar{x}=2{,}86$)

$(2{,}0-2{,}86)^2=0{,}7396$ ; $(2{,}4-2{,}86)^2=0{,}2116$ ; $(2{,}8-2{,}86)^2=0{,}0036$ ; $(3{,}2-2{,}86)^2=0{,}1156$ ; $(3{,}6-2{,}86)^2=0{,}5476$ .
$\sum f_i(x_i-\bar{x})^2=3(0{,}7396)+3(0{,}2116)+6(0{,}0036)+4(0{,}1156)+4(0{,}5476)=5{,}528$ .
$\sigma^2=\dfrac{5{,}528}{20}=0{,}2764$ ; $\sigma=\sqrt{0{,}2764}\approx 0{,}53$ .

Respuesta

$\sigma\approx 0{,}53\ \text{kg}$ .

Parte 8.g

Interpretación de $\sigma$

La desviación estándar mide cuán dispersas están las masas respecto a $\bar{x}=2{,}86$ kg. Un valor bajo ( $\sigma\approx 0{,}53$ kg $<1$ kg) indica que la mayoría de los recién nacidos tiene masas muy cercanas al promedio, es decir, la muestra es homogénea y consistente con el rango ideal $[2{,}5;\,4]$ kg.

Respuesta orientativa: $\sigma\approx 0{,}53$ kg refleja poca dispersión; las masas son homogéneas alrededor de la media.