Comprendemos el problema: polígonos semejantes y congruentes en cuadrados divididos

Observa los cuadrados de la situación y colorea una de las partes que es idéntica en cada uno de ellos.

1. En las figuras 1 y 3 el cuadrado se divide con sus dos diagonales, generando 4 triángulos rectángulos isósceles de ángulos 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ.
2. En las figuras 2 y 4 el cuadrado se divide con líneas escalonadas, generando 4 polígonos en forma de "escalera".
3. La parte idéntica a colorear en cada cuadrado es cualquiera de esas 4 regiones (todas coinciden al superponerlas).

En cada cuadrado, ¿cómo son los tamaños de las cuatro partes?

1. En la figura 1 y 3, cada triángulo tiene la misma base (medio lado) y la misma altura, así que sus áreas son iguales.
2. En la figura 2 y 4, cada pieza se obtiene de las otras por giros de 90^\circ o 180^\circ, por lo que también tienen igual área.

¿Qué palabras nuevas encuentras en la situación?

Si superpones las piezas o partes de un mismo cuadrado, ¿qué puedes afirmar?

1. Al trasladar, girar o voltear una pieza, esta coincide punto a punto con cualquier otra.
2. Coinciden ángulos y lados; decimos que son congruentes.

¿Cómo son las formas y los tamaños de las piezas o partes de las figuras 1 y 3?

1. Ambas figuras se dividen con sus diagonales: sus partes son triángulos rectángulos isósceles.
2. Los triángulos de la figura 1 y los de la figura 3 tienen los mismos ángulos (45^\circ, 45^\circ, 90^\circ) y lados proporcionales con razón 1, es decir iguales.

¿Cómo son las formas y los tamaños de las partes de las figuras 2 y 4?

1. Ambos cuadrados se dividen con trazos escalonados equivalentes.
2. Cada pieza de la figura 2 coincide por giro con la correspondiente de la figura 4.

¿Qué te pide la situación?

Ejemplo (Ten en cuenta)

Hallar AC si AB = 12\,\text{cm} y PR = \dfrac{4}{3}PQ.

1. Por semejanza de los triángulos: \dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{AC}{PR}.
2. Se reordena: \dfrac{PR}{PQ} = \dfrac{AC}{AB}.
3. Se sustituye: \dfrac{4}{3} = \dfrac{AC}{12}.
4. Se despeja: AC = \dfrac{4 \times 12}{3} = 16\,\text{cm}.

Respuesta: AC = 16\,\text{cm}. Verificación: \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} = \dfrac{PR}{PQ}. Correcto.