Semejanza y congruencia de triángulos: criterios y perímetros/áreas

Teoría: Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes congruentes y los lados correspondientes proporcionales. En el ejemplo, \triangle ABC y \triangle DEF cumplen: m\angle CAB=m\angle FDE,\quad m\angle ABC=m\angle DEF,\quad m\angle BCA=m\angle EFD y \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}. Por tanto, \triangle ABC\sim \triangle DEF. Criterios:

• LAL: dos lados proporcionales y el ángulo comprendido congruente.
• AA: dos ángulos congruentes.
• LLL: tres lados correspondientes proporcionales.

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño; y son semejantes cuando tienen la misma forma y sus lados son proporcionales entre sí. Responde la primera pregunta a de la situación. No se muestra la situación completa. Para responder, compara las figuras: si al superponerlas coinciden exactamente (mismos lados y ángulos), son congruentes. Si solo conservan la forma y sus lados correspondientes son proporcionales con ángulos iguales, son semejantes.

¿Cómo son las medidas de los perímetros en las partes de cada cuadrado? En figuras semejantes, el perímetro es proporcional a la razón de semejanza. Si el lado de una figura se multiplica por k, su perímetro también se multiplica por k. P' = kP Si las partes son congruentes, k=1 y los perímetros son iguales. Si son semejantes con razón k\ne 1, los perímetros son proporcionales a k.

¿Cómo son las medidas de las áreas en las partes de cada cuadrado? El área de figuras semejantes es proporcional al cuadrado de la razón de semejanza. Si los lados se multiplican por k, el área se multiplica por k^2. A' = k^2A Si son congruentes, k=1 y las áreas son iguales.

¿Cómo se puede comprobar la congruencia de dos figuras? Se puede comprobar por superposición: trasladar, girar o reflejar una figura sobre la otra. Si coinciden en todos sus puntos, son congruentes. También se comparan lados y ángulos correspondientes: todos los lados deben ser iguales y todos los ángulos congruentes.

Superpón las partes de la figura 1 en la figura 3 y responde la pregunta b de la situación. No se muestran las figuras 1 y 3 en la página. El procedimiento es superponer una sobre otra; si coinciden exactamente, son congruentes; si solo coinciden en forma pero no en tamaño, son semejantes con razón distinta de 1.

Responde la pregunta c de la situación. No se puede determinar sin la situación completa. Se debe aplicar el criterio correspondiente: LAL, AA o LLL para semejanza; o verificar lados y ángulos iguales para congruencia.

Las figuras semejantes, ¿tienen perímetros o áreas iguales? Explica. No necesariamente. Los perímetros son proporcionales a la razón de semejanza y las áreas al cuadrado de la razón. Por ejemplo, los triángulos de lados 3,4,5 y 6,8,10 son semejantes con razón 2. Sus perímetros son 12 y 24, y sus áreas son 6 y 24. No son iguales.

Las figuras congruentes, ¿tienen perímetros o áreas iguales? Explica. Sí. Si dos figuras son congruentes, tienen la misma forma y el mismo tamaño, por lo que sus lados correspondientes son iguales. Entonces sus perímetros son iguales y sus áreas también son iguales.