Función ingreso: variación del precio de la entrada y número de asistentes

¿Qué estrategia emplearías para relacionar la variación del incremento en el precio de la entrada con el ingreso que se genera?

1. Leemos la situación: precio inicial S/ 10 con 500 asistentes y, por cada S/ 1 de aumento, desisten 10 personas.
2. Necesitamos ver cómo cambia el ingreso para muchos valores distintos del incremento (x = 1, 2, 10, 20, 30, 40, \dots).
3. Una gráfica o un diagrama de árbol no permiten calcular montos numéricos rápidamente; en cambio, ordenar los datos en filas (incremento, precio, asistentes, ingreso) sí.
4. La tabla además deja ver el patrón y conduce a la fórmula I(x) = (10 + x)(500 - 10x).

A partir de la situación inicial, ¿cuáles son las variables que identificas y qué estrategia desarrollarías?

1. Lo que puedo cambiar libremente es el aumento del precio: Variable A = incremento del precio de la entrada (x, en soles).
2. Lo que depende de esa decisión es Variable B = ingreso total recaudado (I, en soles); el número de asistentes es una variable intermedia.
3. Estrategia: organizar los datos en una tabla, hallar la regularidad (modelo) y expresarla con una ecuación; luego usarla para calcular cualquier incremento.

Suponiendo que se venden todas las entradas, ¿cómo se puede obtener el ingreso total? Expresa el monto.

1. El ingreso es el dinero recaudado: I = (\text{precio de una entrada}) \times (\text{número de entradas vendidas}).
2. Si no hay aumento, el precio es S/ 10 y se venden todas las entradas: 500 personas.
3. Sustituimos: I = 10 \times 500.
4. I = 5000 soles.

Si se expresa que "por cada 1 sol de aumento desisten 10 personas", completa la tabla.

1. Con incremento 0: asisten 500.
2. Con incremento 1: 500 - 10(1) = 490.
3. Con incremento 2: 500 - 10(2) = 480.
4. Con incremento 3: 500 - 10(3) = 470.
5. El patrón es restar 10 por cada sol de aumento: número de asistentes = 500 - 10x.

Completa la tabla. Considera: x = incremento en el precio de la entrada (S/); I(x) = función ingreso (S/).

1. Precio con incremento x: 10 + x.
2. Asistentes con incremento x: 500 - 10x.
3. Ingreso: I(x) = (10 + x)(500 - 10x).
4. Para x = 10: precio = 20, asistentes = 500 - 10(10) = 400, I = 20 \times 400 = 8000.
5. Para x = 20: precio = 30, asistentes = 300, I = 30 \times 300 = 9000.
6. Para x = 30: precio = 40, asistentes = 200, I = 40 \times 200 = 8000.
7. Para x = 40: precio = 50, asistentes = 100, I = 50 \times 100 = 5000.
8. Caso general: I(x) = (10 + x)(500 - 10x) = -10x^{2} + 400x + 5000, parábola con vértice en x = 20.

El ingreso máximo es de S/ 9000 y se obtiene con un incremento de S/ 20 (entrada a S/ 30) y 300 asistentes.