Situación C: Área de un terreno (corrección del error)

Situación C: Área de un terreno

Terreno original de 150\,\text{m} por 80\,\text{m}. Se recorta x\,\text{m} al lado más largo y se incrementa x\,\text{m} al lado más corto. Hay que representar el área del nuevo terreno y hallar la máxima área.

1. Nuevas dimensiones: largo = 150 - x, ancho = 80 + x (siempre con 0 \le x \le 150).
2. Modelo del área: A(x) = (150 - x)(80 + x)
3. Desarrollamos el producto: A(x) = 150\cdot 80 + 150x - 80x - x^{2} = 12\,000 + 70x - x^{2} A(x) = -x^{2} + 70x + 12\,000 \Rightarrow a = -1,\; b = 70,\; c = 12\,000
4. Error de la resolución mostrada: se escribió A(x)=(x-150)(x+80)=x^{2}-70x-12\,000, es decir a=+1. Con a>0 la parábola abre hacia arriba y su vértice es un mínimo, no un máximo; por eso se obtuvo k=-13\,225, un área negativa imposible.
5. Corrección del vértice. Coordenada h: h = \frac{-b}{2a} = \frac{-70}{2(-1)} = \frac{-70}{-2} = 35
6. Coordenada k (área máxima): k = A(35) = -(35)^{2} + 70(35) + 12\,000 = -1225 + 2450 + 12\,000 = 13\,225 V(h;k) = V(35;\,13\,225)

En el caso de que hubiera un error, ¿cuál sería su corrección?

1. Revisamos el modelo: el lado mayor se acorta, luego mide 150-x; el lado menor se alarga, luego mide 80+x.
2. El área correcta es A(x)=(150-x)(80+x); el libro usó (x-150)(x+80), que cambia el signo de todos los términos.
3. Al expandir correctamente: A(x) = -x^{2}+70x+12\,000, con a=-1<0 (parábola hacia abajo → máximo).
4. Vértice: h = \dfrac{-70}{2(-1)}=35 y k=A(35)=13\,225. El error era de signo en a, b y c, y por eso el resultado salía negativo.

Representa la expresión algebraica del área del nuevo terreno en un plano cartesiano. Interpreta el punto máximo.

1. Tabla de valores: A(0)=12\,000; A(20)=13\,000; A(35)=13\,225; A(70)=12\,000; A(150)=0.
2. Se grafica la parábola A(x)=-x^{2}+70x+12\,000 para 0 \le x \le 150, cortando al eje x en x=150 (y en x=-80, fuera del contexto).
3. El punto máximo es el vértice V(35;\,13\,225).