Función cuadrática: máximo ingreso, vértice y estrategias de resolución

Recuerda (teoría de apoyo)

La gráfica de una función cuadrática f(x)=ax^{2}+bx+c se construye con pares ordenados (x; f(x)). Para f(x)=x^{2}:

La gráfica es una parábola con vértice en (0;0) y eje de simetría x=0.

Analiza los datos de la tabla y expresa cuál será el máximo incremento para obtener el mayor ingreso posible (pregunta a. de la situación).

1. El ingreso se modela con una función cuadrática I(x)=(p+ax)(n-bx), cuyo desarrollo es I(x)=-abx^{2}+(an-bp)x+pn.
2. Como a_{0}<0, la parábola abre hacia abajo y su máximo está en el vértice.
3. La coordenada del vértice es x_{v}=-\dfrac{b_{0}}{2a_{0}}=\dfrac{-(an-bp)}{2(-ab)}.
4. Ese valor x_{v} (en soles) es el máximo incremento que debe aplicarse al precio de la entrada.

¿Cuál será el precio de la entrada según la condición expresada? (pregunta b.)

1. Ya se obtuvo el incremento óptimo x_{v} en el ejercicio 11.
2. El precio final es el precio base más el incremento: p_{final}=p+x_{v}.
3. Se sustituye x_{v} y se opera.

¿A cuánto equivale el máximo ingreso? (pregunta c.)

1. Con el precio óptimo del ejercicio 12 se calcula el número de asistentes: n_{final}=n-bx_{v}.
2. El ingreso máximo es I_{max}=p_{final}\cdot n_{final}.
3. También puede obtenerse evaluando la función en el vértice: I_{max}=I(x_{v}).

Describe la estrategia empleada para resolver la situación planteada.

1. Se identifican las variables: precio de entrada y cantidad de asistentes.
2. Se plantea el producto ingreso = precio × asistentes, obteniéndose una función cuadrática.
3. Se reconoce que el máximo ingreso corresponde al vértice de la parábola.
4. Se aplica x_{v}=-\dfrac{b}{2a} y se interpreta el resultado en el contexto del problema.

Respuesta orientativa: La estrategia consistió en modelar el ingreso mediante una función cuadrática, identificar que su gráfica es una parábola que abre hacia abajo y localizar el vértice para obtener el incremento, precio e ingreso óptimos.

¿Qué otro procedimiento aplicarías para verificar el valor del vértice? Explica.

1. Completar cuadrados: llevar I(x)=ax^{2}+bx+c a la forma I(x)=a(x-h)^{2}+k, donde (h;k) es el vértice.
2. Tabular valores simétricos alrededor del vértice: si I(h-1)=I(h+1), se confirma la abscisa h.
3. Derivar e igualar a cero: I'(x)=2ax+b=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}.

Respuesta orientativa: Aplicaría la completación de cuadrados (forma vértice) o la derivada igualada a cero, y comprobaría con una tabla simétrica que los valores del ingreso a ambos lados del vértice son simétricamente menores.