Programador de videojuego: función cuadrática y = -x² + 12x - 20

Situación B: Programador de videojuego

Luis modela la trayectoria de un misil con y = -x^{2} + 12x - 20 (metros). El barco está a 13 m del punto de lanzamiento. ¿Es correcta la función? ¿Qué distancia recorre el misil?

1. El misil toca el agua cuando y = 0. Reemplazamos en la función: 0 = -x^{2} + 12x - 20
2. Multiplicamos por -1 para dejar positivo el término cuadrático: 0 = -1\left(x^{2} - 12x + 20\right) \rightarrow x^{2} - 12x + 20 = 0
3. Factorizamos por aspa simple: dos números que multiplicados dan 20 y sumados dan -12 son -2 y -10: (x - 2)(x - 10) = 0
4. Igualamos a cero cada factor: x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 \qquad x - 10 = 0 \rightarrow x = 10
5. Los valores obtenidos dan los puntos de lanzamiento (2; 0) y de caída en el agua (10; 0). La distancia horizontal recorrida es 10 - 2 = 8 \, \text{m}.
6. Comparamos con la ubicación del barco: 8 \, \text{m} < 13 \, \text{m}.

Representa en el plano cartesiano y = -x^{2} + 12x - 20 e interpreta el punto máximo.

1. Identificamos los coeficientes: a = -1, b = 12, c = -20. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo.
2. Coordenada x del vértice: x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-1)} = 6
3. Coordenada y del vértice: y_{v} = -(6)^{2} + 12(6) - 20 = -36 + 72 - 20 = 16
4. Puntos de corte con el eje X (ya calculados): (2; 0) y (10; 0). Corte con el eje Y: x = 0 \rightarrow y = -20, punto (0; -20).
5. Tabla de valores y gráfica:

La curva es simétrica respecto a la recta x = 6, sube desde (2;0) hasta el vértice y baja hasta (10;0).