Cercamos un terreno: área máxima con función cuadrática

Situación A: Cercamos un terreno

Un horticultor cuenta con 400 m de malla para delimitar un terreno rectangular. Si quiere aprovechar un muro ya existente para cercar uno de los lados, ¿cuál es la expresión que representa el área del terreno rectangular?

1. Sea x la medida del ancho que se debe cercar y y el largo que se cerca.
2. Como se usan 400 m de malla en tres lados, se tiene x+x+y=400.
3. Despejamos y: y=400-2x.
4. El área del rectángulo es A(x)=xy.
5. Sustituimos y: A(x)=x(400-2x)=400x-2x^{2}.
6. Ordenamos: A(x)=-2x^{2}+400x.

¿Para qué valor de x se tiene la mayor área del terreno?

1. Identificamos los coeficientes de A(x)=-2x^{2}+400x: a=-2, b=400, c=0.
2. Como a<0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice da el máximo.
3. Calculamos la coordenada x del vértice: x_v=-\frac{b}{2a}.
4. Sustituimos: x_v=-\frac{400}{2(-2)}=-\frac{400}{-4}=100.
5. Verificamos: si x=100, entonces y=400-2(100)=200.
6. El área máxima es A=100\cdot 200=20000\,\text{m}^{2}.

Representa la expresión matemática del área del terreno en un plano cartesiano.

1. La expresión es A(x)=-2x^{2}+400x.
2. Es una parábola con a=-2<0, por lo que se abre hacia abajo.
3. El vértice es V(100,20000).
4. Intersecciones con el eje x: resolvemos -2x^{2}+400x=0.
5. Factorizamos: -2x(x-200)=0, entonces x=0 y x=200.
6. Intersección con el eje y: A(0)=0.
7. Tabla de valores:

8. En el plano cartesiano, ubicamos los puntos y trazamos una parábola que pasa por (0,0), (100,20000) y (200,0).