Evaluamos nuestros aprendizajes: función cuadrática y optimización

Julio ofrece un tour: por 30 personas cada boleto cuesta S/100; por cada persona adicional el boleto baja S/1. Halla la recaudación total en función de las personas adicionales x.

1. Número total de personas: 30 + x.
2. Precio del boleto tras el descuento: 100 - x.
3. Recaudación = (personas)(precio): f(x) = (30+x)(100-x).
4. Desarrollamos: f(x) = 3000 - 30x + 100x - x^{2}.
5. Reducimos términos semejantes: f(x) = -x^{2} + 70x + 3000.

Se dispone de 32 m de malla para cercar un terreno rectangular y se busca la máxima área. La gráfica muestra el área frente al ancho x.

1. Perímetro: 2(\text{ancho} + \text{largo}) = 32 \Rightarrow \text{ancho} + \text{largo} = 16.
2. Largo en función del ancho: \text{largo} = 16 - x.
3. Área: A(x) = x(16-x) = -x^{2} + 16x.
4. Vértice: x_{v} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{16}{2(-1)} = 8 m de ancho.
5. Área máxima: A(8) = 8(16-8) = 8 \cdot 8 = 64\,\text{m}^{2}.
6. Coincide con el vértice (8,\,64) de la gráfica.