Función cuadrática: utilidad, gráficas, ingresos y volumen

La utilidad de una empresa, en miles de dólares, está dada por U(x)=-x^{2}+12x-24, donde x representa el número de cientos de unidades vendidas. Calcula el número de unidades que se deben vender para obtener la máxima utilidad posible.

1. Identifico los coeficientes: a=-1, b=12, c=-24.
2. Como a<0, la parábola abre hacia abajo y su vértice representa el máximo.
3. Calculo la abscisa del vértice: x_{v}=-\frac{b}{2a}.
4. Sustituyo: x_{v}=-\frac{12}{2(-1)}=6.
5. Como x está en cientos de unidades, multiplico: 6\cdot100=600 unidades.

Analiza la gráfica de cada función y relaciónala con su expresión algebraica.

1. Para f(x)=-x^{2}-4x+1: a=-1<0 abre hacia abajo; vértice x=-\frac{-4}{2(-1)}=-2; y=f(-2)=-4+8+1=5. Corresponde a la gráfica B.
2. Para g(x)=x^{2}-4x+2: a=1>0 abre hacia arriba; vértice x=-\frac{-4}{2(1)}=2; y=g(2)=4-8+2=-2. Corresponde a la gráfica A.
3. Para h(x)=-2x^{2}+2: a=-2<0 abre hacia abajo; vértice x=0, y=2; corta el eje x en x=\pm1. Corresponde a la gráfica C.

Entonces: A-II, B-I, C-III.

Un edificio tiene 60 minidepartamentos que pueden alquilarse en su totalidad a S/500 cada uno. Por cada S/10 de aumento, 2 minidepartamentos quedan sin alquilar. Modela el ingreso.

1. Defino x como el número de aumentos de S/10.
2. Nuevo alquiler: 500+10x.
3. Departamentos alquilados: 60-2x.
4. Ingreso: I(x)=(500+10x)(60-2x).
5. Expando: I(x)=30000-1000x+600x-20x^{2}.
6. Simplifico: I(x)=-20x^{2}-400x+30000.

De las cuatro esquinas de una pieza rectangular de latón se cortan cuadrados de 1 cm de lado. Se dobla y se obtiene una caja abierta sin tapa. Las medidas de la base difieren en 3 cm y el volumen es 28 cm³. ¿Qué medidas tiene la pieza original?

1. Sea L el largo y A el ancho de la pieza original, con L>A.
2. Al cortar cuadrados de 1 cm, la altura de la caja es 1 cm.
3. La base mide (L-2) y (A-2). Como las medidas de la base difieren en 3 cm: L-A=3.
4. Volumen: 1\cdot(L-2)(A-2)=28, es decir, (L-2)(A-2)=28.
5. Sustituyo L=A+3: (A+1)(A-2)=28.
6. Resuelvo: A^{2}-A-2=28\Rightarrow A^{2}-A-30=0.
7. Factorizo: (A-6)(A+5)=0, luego A=6 cm.
8. Entonces L=A+3=9 cm.