Optimización con funciones cuadráticas: máximos e ingresos

Un campo petrolero tiene 30 pozos, cada uno produce 18 000 barriles diarios; por cada nuevo pozo la producción de cada pozo baja 5 barriles. Halla el número de nuevos pozos que maximiza la producción total P.

1. Sea x la cantidad de pozos nuevos perforados.
2. La producción diaria de cada pozo pasa a ser 18000 - 5x barriles.
3. El número total de pozos es 30 + x.
4. La producción total es el producto:

P(x) = (30 + x)(18000 - 5x)

5. Se desarrolla el producto:

P(x) = 540000 - 150x + 18000x - 5x^{2} = -5x^{2} + 17850x + 540000

6. El máximo de una parábola con a = -5 < 0 está en el vértice:

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{17850}{2 \cdot (-5)} = \frac{17850}{10} = 1785

Una empresa modela sus ingresos (en miles de soles) con I(h) = -100h^{2} + 1000h + 7500, donde h \ge 0 son miles de huevos. Halla los valores de h para el ingreso máximo y el ingreso nulo.