Sólidos de revolución: cilindro, cono truncado y esfera — problemas de volumen y área

Recordatorio teórico (Ten en cuenta)

La esfera es el sólido de revolución generado al girar un semicírculo alrededor de su diámetro: V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.

Fórmulas auxiliares usadas:

• Cilindro: V=\pi r^{2}h
• Cono truncado (tronco de cono): V=\frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right) y A_{L}=\pi (R+r)g, con g=\sqrt{h^{2}+(R-r)^{2}}

Héctor quiere el envase de mayor volumen entre un cilindro (Envase 1) y un cono truncado (Envase 2).

1. Envase 1 (cilindro): diámetro 12\,\text{cm}\Rightarrow r=6\,\text{cm}, h=4\,\text{cm}. V_{1}=\pi r^{2}h=\pi\,(6)^{2}(4)=\pi\cdot 36\cdot 4=144\pi\,\text{cm}^{3}
2. Envase 2 (cono truncado): diámetro superior 8\,\text{cm}\Rightarrow R=4\,\text{cm}; diámetro inferior 6\,\text{cm}\Rightarrow r=3\,\text{cm}; h=8\,\text{cm}. V_{2}=\frac{\pi (8)}{3}\left(4^{2}+4\cdot 3+3^{2}\right)=\frac{8\pi}{3}(16+12+9)=\frac{8\pi}{3}(37)=\frac{296\pi}{3}\approx 98{,}67\pi\,\text{cm}^{3}
3. Comparo: 144\pi > 98{,}67\pi, por lo tanto el Envase 1 tiene mayor volumen.

Recubrir la parte lateral de 3 ashikos (conos truncados) de h=40\,\text{cm}, diámetro superior 26\,\text{cm} (R=13) y diámetro inferior 8\,\text{cm} (r=4).

1. Calculo la generatriz: g=\sqrt{h^{2}+(R-r)^{2}}=\sqrt{40^{2}+(13-4)^{2}}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41\,\text{cm}.
2. Área lateral de un ashiko: A_{L}=\pi (R+r)g=\pi (13+4)(41)=\pi\cdot 17\cdot 41=697\pi\,\text{cm}^{2}
3. Con \pi\approx 3{,}14: A_{L}=697\times 3{,}14=2188{,}58\,\text{cm}^{2}.
4. Para los 3 ashikos: 3\times 2188{,}58=6565{,}74\,\text{cm}^{2} (equivale a 2091\pi\,\text{cm}^{2}).

3 porciones esféricas de 6\,\text{cm} de diámetro (R=3\,\text{cm}) en un vaso cónico truncado de h=6\,\text{cm}, diámetro superior 8\,\text{cm} (R=4) e inferior 6\,\text{cm} (r=3).

1. Volumen del helado (3 esferas): V_{h}=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=3\cdot\frac{4}{3}\pi (3)^{3}=4\pi\cdot 27=108\pi\,\text{cm}^{3}\approx 339{,}12\,\text{cm}^{3}
2. Capacidad del vaso (cono truncado): V_{v}=\frac{\pi (6)}{3}\left(4^{2}+4\cdot 3+3^{2}\right)=2\pi (16+12+9)=2\pi\cdot 37=74\pi\,\text{cm}^{3}\approx 232{,}36\,\text{cm}^{3}
3. Comparo: 108\pi > 74\pi (es decir, 339{,}12 > 232{,}36). El helado derretido ocupa más que la capacidad del vaso, así que se rebalsa.