Media aritmética y desviación media para datos agrupados

Organiza los datos en la tabla, completando la frecuencia absoluta f_i y el producto x_i \cdot f_i.

1. Con los datos de la situación inicial los puntajes se agrupan en cuatro valores: x_1 = 10, x_2 = 12, x_3 = 14 y x_4 = 16.
2. Se registran las frecuencias absolutas: f_1 = 1, f_2 = 2, f_3 = 8 y f_4 = 9.
3. Se calcula cada producto:

10 \times 1 = 10

12 \times 2 = 24

14 \times 8 = 112

16 \times 9 = 144

4. Se hallan los totales: n = 1 + 2 + 8 + 9 = 20 y \sum x_i f_i = 10 + 24 + 112 + 144 = 290.

Determina la diferencia entre el puntaje mayor y el menor e interpreta el resultado.

1. Puntaje mayor: 16; puntaje menor: 10.
2. Rango: 16 - 10 = 6.
3. Interpretación: el rango mide la dispersión total de los datos.

Calcula la media aritmética \bar{x} de los puntajes usando la tabla del ejercicio 9 e interprétala.

1. Fórmula: \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{n}
2. Sustitución: \bar{x} = \frac{10 + 24 + 112 + 144}{20} = \frac{290}{20}
3. División: \bar{x} = 14{,}5
4. Interpretación: en promedio, los estudiantes obtuvieron 14{,}5 puntos, es decir, un puntaje superior a 14.

Completa la tabla usando la media aritmética \bar{x} = 14{,}5.

1. Se calcula |x_i - \bar{x}| para cada valor:

|10 - 14{,}5| = 4{,}5

|12 - 14{,}5| = 2{,}5

|14 - 14{,}5| = 0{,}5

|16 - 14{,}5| = 1{,}5

2. Se multiplica cada desviación por su frecuencia:

4{,}5 \times 1 = 4{,}5

2{,}5 \times 2 = 5{,}0

0{,}5 \times 8 = 4{,}0

1{,}5 \times 9 = 13{,}5

3. Se suman los productos: 4{,}5 + 5{,}0 + 4{,}0 + 13{,}5 = 27.

Calcula la desviación media DM y responde la pregunta b de la situación inicial.

1. Fórmula: DM = \frac{\sum_{i=1}^{k} |x_i - \bar{x}| \cdot f_i}{n}
2. Sustitución: DM = \frac{27}{20}
3. División: DM = 1{,}35
4. Interpretación: los puntajes se alejan, en promedio, 1{,}35 puntos de la media; al ser un valor pequeño respecto del rango (6), los datos son bastante concentrados alrededor de 14{,}5.