La divisibilidad en la elaboración de marcos para cuadros

¿Cuál es la forma geométrica del marco del cuadro? ¿Cuáles son las longitudes de las maderas que conforman los marcos?

1. El enunciado indica "marcos de madera cuadrados" → forma geométrica: cuadrado.
2. Los listones usados miden 240 \, \text{cm} y 300 \, \text{cm}.

Respuesta orientativa: La forma geométrica es un cuadrado. Las longitudes de las maderas son 240 \, \text{cm} y 300 \, \text{cm}.

De un listón de 240 \, \text{cm}, ¿cuántos rectángulos de longitudes iguales se pueden obtener? Menciona más de un caso.

1. Factorizamos: 240 = 2^{4} \times 3 \times 5.
2. Los divisores de 240 son los posibles números de piezas: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240\}.
3. Caso A: 4 piezas \Rightarrow 240 \div 4 = 60 \, \text{cm} por pieza.
4. Caso B: 6 piezas \Rightarrow 240 \div 6 = 40 \, \text{cm} por pieza.
5. Caso C: 8 piezas \Rightarrow 240 \div 8 = 30 \, \text{cm} por pieza.

Respuesta orientativa: Se pueden obtener, por ejemplo: 4 piezas de 60 \, \text{cm}, 6 piezas de 40 \, \text{cm} o 8 piezas de 30 \, \text{cm}, entre otros casos correspondientes a divisores de 240.

De un listón de 300 \, \text{cm}, ¿cuántos rectángulos de longitudes iguales se pueden obtener? Menciona más de un caso.

1. Factorizamos: 300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}.
2. Divisores de 300: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300\}.
3. Caso A: 4 piezas \Rightarrow 300 \div 4 = 75 \, \text{cm} por pieza.
4. Caso B: 5 piezas \Rightarrow 300 \div 5 = 60 \, \text{cm} por pieza.
5. Caso C: 6 piezas \Rightarrow 300 \div 6 = 50 \, \text{cm} por pieza.

Respuesta orientativa: Algunos casos: 4 piezas de 75 \, \text{cm}, 5 piezas de 60 \, \text{cm} o 6 piezas de 50 \, \text{cm}, pues la longitud de cada pieza debe ser un divisor de 300.

¿Cuál es la longitud máxima por lado para construir marcos sin desperdiciar material de ambos listones?

1. Se necesita la mayor longitud que divida exactamente tanto 240 como 300 → calcular \text{MCD}(240, 300).
2. Factorizamos: 240 = 2^{4} \times 3^{1} \times 5^{1}; \quad 300 = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{2}.
3. Tomamos mínimos exponentes de factores comunes: \text{MCD} = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1} = 4 \times 3 \times 5 = 60.
4. Verificación: 240 \div 60 = 4 piezas (sin residuo); 300 \div 60 = 5 piezas (sin residuo).