Ejercicio 1
— Criba para obtener los primos menores de 100
Aplicar el procedimiento de la cuadrícula y anotar los números que quedan señalados.
- Se elimina el 1, porque no es primo ni compuesto (no admite factorización con más de un factor).
- Se deja circulado el 2 y se tachan todos sus múltiplos pares hasta 100: 4, 6, 8, \dots, 100.
- Se circula el 3 y se tachan sus múltiplos aún no eliminados: 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99.
- Se circula el 5 y se eliminan sus múltiplos restantes terminados en 5: 25, 35, 55, 65, 85, 95 (los terminados en 0 ya cayeron en el paso 2).
- Se circula el 7 y se eliminan los múltiplos que faltan: 49, 77, 91.
- Los que quedan circulados son primos. Basta llegar al 7 porque el siguiente primo es 11 y 11^{2}=121>100.
Ejemplo trabajado — m.c.m. y m.c.d. de 60, 72 y 108
La página inicia esta consulta descomponiendo los tres números en factores primos (la resolución se completa aquí):
- Descomposición: 60 = 2^{2}\cdot 3\cdot 5; 72 = 2^{3}\cdot 3^{2}; 108 = 2^{2}\cdot 3^{3}.
- m.c.m.: se toma la mayor potencia de cada primo presente: 2^{3}, 3^{3} y 5. \text{m.c.m.} = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5 = 8\cdot 27\cdot 5 = 1080.
- m.c.d.: se toma la menor potencia de cada primo común: 2^{2} y 3^{2}. \text{m.c.d.} = 2^{2}\cdot 3^{2} = 4\cdot 9 = 36.
- Comprobación: 1080\div 60=18, 1080\div 72=15 y 1080\div 108=10; además 36 divide exactamente a los tres: 60=36\cdot1+24 se verifica con división por primos (ambos tienen 2^{2}\cdot3^{2} como parte común), 72=36\cdot2 y 108=36\cdot3.
Respuesta: \text{m.c.m.}(60,72,108)=1080 y \text{m.c.d.}(60,72,108)=36.
Respuesta
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Son 25 números.
