Divisibilidad, m.c.m. y m.c.d. — Resoluciones y práctica

¿Es correcto el criterio de Pablo: todo número que termina en 4 es múltiplo de 4?

1. Verificar ejemplos de Pablo: 524 \to 24 \div 4 = 6 ✓; 9164 \to 64 \div 4 = 16 ✓; 184 \to 84 \div 4 = 21 ✓; 204 \to 04 \div 4 = 1 ✓.
2. Notar que funcionan porque sus dos últimas cifras son múltiplos de 4, no solo porque terminan en 4.
3. Contraejemplo con 634: dos últimas cifras = 34; 34 \div 4 = 8{,}5 → no es entero → 634 no es múltiplo de 4.
4. Criterio correcto: un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.

Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de 48, 60 y 72.

1. Descomposición en factores primos:
   • 48 = 2^{4} \cdot 3
   • 60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5
   • 72 = 2^{3} \cdot 3^{2}
2. m.c.m.: factores comunes y no comunes con mayor exponente: 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5.
3. Calcular: 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720.
4. m.c.d.: solo factores comunes con menor exponente: 2^{2} \cdot 3.
5. Calcular: 2^{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12.

David tiene 24 adornos en cajitas cuadradas y debe ordenarlos formando un rectángulo. Escribe todas las posibilidades.

1. Encontrar todos los pares de divisores de 24 cuyo producto sea 24.
2. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
3. Pares (largo × ancho): 1 \times 24, 2 \times 12, 3 \times 8, 4 \times 6 (y sus simétricos: 6 \times 4, 8 \times 3, 12 \times 2, 24 \times 1).

Engranaje con rueda de 8 dientes y rueda de 12 dientes. ¿Cuántos dientes deben pasar para que vuelvan a coincidir los puntos rojos?

1. Descomponer: 8 = 2^{3}; 12 = 2^{2} \cdot 3.
2. \text{m.c.m.}(8, 12) = 2^{3} \cdot 3 = 24.
3. Deben pasar 24 dientes de cada rueda.
4. Verificar: rueda de 8 dientes da 24 \div 8 = 3 vueltas; rueda de 12 dientes da 24 \div 12 = 2 vueltas.