Construimos tachos de basura y comparamos sus volúmenes

¿Qué otro tipo de base puede tener un prisma regular?

Respuesta orientativa: Un prisma regular puede tener base triangular equilátera, pentagonal, hexagonal u octagonal. En general, cualquier polígono regular de n lados define un prisma regular n-gonal.

¿Qué relación tienen el largo y el ancho del rectángulo con el perímetro de la base del prisma?

Respuesta orientativa: Una dimensión del cartón se convierte en el perímetro de la base y la otra en la altura del prisma. En prisma 1: largo = 100 \, \text{cm} = perímetro base; ancho = 80 \, \text{cm} = altura. En prisma 2: ancho = 80 \, \text{cm} = perímetro base; largo = 100 \, \text{cm} = altura.

¿En cuál de los recipientes hay mayor capacidad?

1. Prisma 1: perímetro base = 100 \, \text{cm}; lado = \frac{100}{4} = 25 \, \text{cm}; altura = 80 \, \text{cm}.
2. V_{1} = 25^{2} \cdot 80 = 625 \cdot 80 = 50\,000 \, \text{cm}^{3}.
3. Prisma 2: perímetro base = 80 \, \text{cm}; lado = \frac{80}{4} = 20 \, \text{cm}; altura = 100 \, \text{cm}.
4. V_{2} = 20^{2} \cdot 100 = 400 \cdot 100 = 40\,000 \, \text{cm}^{3}.

¿Qué relación existe entre el área de la base y la altura con respecto al volumen?

Respuesta orientativa: El volumen de un prisma es V = A_{b} \cdot h. Es directamente proporcional tanto al área de la base como a la altura; si se duplica cualquiera de los dos factores, el volumen se duplica.

Si se construye un cilindro en ambos casos, ¿se obtiene mayor o menor volumen?

1. Cilindro 1: circunferencia = 100 \, \text{cm} → r_{1} = \frac{50}{\pi} \, \text{cm}, altura = 80 \, \text{cm}.
2. V_{c1} = \pi \left(\frac{50}{\pi}\right)^{2} \cdot 80 = \frac{200\,000}{\pi} \approx 63\,662 \, \text{cm}^{3}.
3. Cilindro 2: circunferencia = 80 \, \text{cm} → r_{2} = \frac{40}{\pi} \, \text{cm}, altura = 100 \, \text{cm}.
4. V_{c2} = \pi \left(\frac{40}{\pi}\right)^{2} \cdot 100 = \frac{160\,000}{\pi} \approx 50\,930 \, \text{cm}^{3}.

¿En cuál tacho se necesita más cartón para la base? ¿Cuántos \text{cm}^{2} más?

1. Base prisma 1: A_{1} = 25^{2} = 625 \, \text{cm}^{2}.
2. Base prisma 2: A_{2} = 20^{2} = 400 \, \text{cm}^{2}.
3. Diferencia: 625 - 400 = 225 \, \text{cm}^{2}.