Perímetro y área — triángulos, rompecabezas y rectángulo

Piscina triangular rectángula con catetos 5\,\text{m} y 12\,\text{m}, hipotenusa 13\,\text{m}. Cinta de 6{,}5\,\text{m} desde el vértice del ángulo recto C hasta el punto medio M de la hipotenusa AB. ¿Cuál es el mayor perímetro?

1. Verificamos triángulo rectángulo: 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2} ✓.
2. Mediana desde el ángulo recto a la hipotenusa: en todo triángulo rectángulo, CM = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6{,}5\,\text{m} ✓ (coincide con la cinta).
3. Punto medio divide la hipotenusa: AM = BM = 6{,}5\,\text{m}.
4. Triángulo ACM (cateto largo AC = 12\,\text{m}): P_{1} = 12 + 6{,}5 + 6{,}5 = 25\,\text{m}.
5. Triángulo BCM (cateto corto BC = 5\,\text{m}): P_{2} = 5 + 6{,}5 + 6{,}5 = 18\,\text{m}.
6. Mayor perímetro: 25\,\text{m} > 18\,\text{m}.

Piezas de rompecabezas con marcas horizontales y verticales. ¿Qué característica común tienen?

1. Las piezas tienen distinta forma y distinto número de cuadrados unitarios → áreas distintas → descartamos a).
2. Los lados son todos horizontales o verticales, pero los lados de una misma pieza no son todos paralelos ni todos perpendiculares entre sí en sentido absoluto → descartamos c) y d).
3. Contando segmentos externos de cada figura, el perímetro resulta igual en todas las piezas.

Cintas de 7\,\text{cm}, 6\,\text{cm} y 3\,\text{cm}. Claudia propone triángulo isósceles con lados 3\,\text{cm}, 3\,\text{cm} y 6\,\text{cm}.

1. Aplicamos la desigualdad triangular: para todo triángulo válido, la suma de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que el tercero.
2. Verificamos el caso crítico: 3 + 3 = 6, que no es mayor que 6 (es igual, no estricto).
3. Cuando a + b = c, los tres puntos son colineales: los segmentos formarían un segmento de 6\,\text{cm}, no un triángulo cerrado.

Área del rectángulo = 60\,\text{m}^{2}. ¿Cuál es el área sombreada?

1. La figura muestra un rectángulo con triángulos interiores sombreados que, juntos, cubren exactamente la mitad del rectángulo (cada triángulo tiene base y altura iguales a los lados del rectángulo, y su área es \frac{1}{2} \cdot b \cdot h).
2. Área sombreada = \frac{60}{2} = 30\,\text{m}^{2}.