Polígonos regulares, área de figuras irregulares y ángulos internos

Se comparan un triángulo equilátero y un cuadrado, ambos con perímetro P = 72 cm.

1. Triángulo (n=3): el lado se obtiene dividiendo el perímetro entre el número de lados: a = \frac{P}{n} = \frac{72}{3} = 24 cm.

A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}(24)^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 576 = 144\sqrt{3} \approx 249{,}4 cm^{2}.

a = \frac{72}{4} = 18 cm y A = a^{2} = 18^{2} = 324 cm^{2}. 4. Comparación: 324 > 249{,}4, por lo tanto el cuadrado tiene mayor área. 5. Relación: con el mismo perímetro, al aumentar el número de lados el área crece; el polígono se acerca cada vez más a la figura circular (el triángulo es el que menos área aprovecha).

La figura se descompone en dos trapecios superpuestos según la línea horizontal de 7 cm.

1. Trapecio superior: bases de 2 + 7 + 3{,}5 = 12{,}5 cm y de 7 cm, con altura 2 cm. A_1 = \frac{12{,}5 + 7}{2}\cdot 2 = \frac{19{,}5}{2}\cdot 2 = 19{,}5 cm^{2}.
2. Trapecio inferior: bases de 7 cm y de 11 cm, con altura 2 cm. A_2 = \frac{7 + 11}{2}\cdot 2 = \frac{18}{2}\cdot 2 = 18 cm^{2}.
3. Área total: A = A_1 + A_2 = 19{,}5 + 18 = 37{,}5 cm^{2}.

Un eneágono tiene n = 9 lados.

1. Al unir un vértice con todos los demás que no son vecinos, el polígono se divide en n - 2 triángulos: 9 - 2 = 7 triángulos.
2. Cada triángulo suma 180^ ext{o}, por lo que: S = (n-2)\cdot 180^ ext{o} = 7\times 180^ ext{o} = 1260^ ext{o}.
3. Se puede comprobar con el valor de cada ángulo interno (polígono regular): \alpha = \frac{1260^ ext{o}}{9} = 140^ ext{o} y 9\times 140^ ext{o} = 1260^ ext{o}.

El mantel circular tiene d = 2 m, luego R = \frac{d}{2} = 1 m.

1. El mayor triángulo equilátero que cabe en un círculo es el que tiene sus tres vértices en la circunferencia (triángulo inscrito).
2. En un triángulo equilátero inscrito, el radio R es el radio de la circunferencia circunscrita, y se cumple: s = R\sqrt{3} = 1\cdot\sqrt{3} \approx 1{,}73 m.
3. Bosquejo con regla y compás: se traza el círculo de radio 1 m; se elige un punto de la circunferencia y se marca, con la misma abertura de compás (igual a R), el arco correspondiente: de tres aberturas iguales se obtienen los tres vértices; al unirlos se forma el triángulo equilátero de lado \sqrt{3} m.