Polígonos regulares — propiedades, área y mosaicos

Relaciona propiedades de polígonos con su nombre usando flechas.

1. Suma de ángulos internos = 540°: aplicando (n-2)\cdot180°=540° → n=5 → PENTÁGONO.
2. Ángulo interior = 120°: \frac{(n-2)\cdot180°}{n}=120° → n=6 → HEXÁGONO.
3. Tiene 20 diagonales: \frac{n(n-3)}{2}=20 → n(n-3)=40 → n=8 → OCTÁGONO.
4. Ángulo exterior = 36°: \frac{360°}{n}=36° → n=10 → DECÁGONO.

Marco de espejo cuadrangular: perímetro externo 96 cm, interno 72 cm. ¿Área del marco?

1. Lado externo: L_{ext} = \frac{96}{4} = 24 \, \text{cm}.
2. Lado interno: L_{int} = \frac{72}{4} = 18 \, \text{cm}.
3. Área externa: A_{ext} = 24^{2} = 576 \, \text{cm}^{2}.
4. Área interna: A_{int} = 18^{2} = 324 \, \text{cm}^{2}.
5. Área del marco: A_{marco} = 576 - 324 = 252 \, \text{cm}^{2}.

¿Qué polígonos regulares forman mosaicos (ángulos en vértice suman 360°)?

1. Condición: ángulo interior debe dividir exactamente a 360°.
2. Triángulo equilátero: A_i=60°; \frac{360°}{60°}=6 ✓.
3. Cuadrado: A_i=90°; \frac{360°}{90°}=4 ✓.
4. Hexágono regular: A_i=120°; \frac{360°}{120°}=3 ✓.
5. Octógono regular: A_i=135°; \frac{360°}{135°}\approx2.67 → no es entero ✗.

Mesita hexagonal regular con perímetro 144 cm. Calcular área de la pieza de vidrio.

1. Lado: s = \frac{144}{6} = 24 \, \text{cm}.
2. El hexágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros de lado s.
3. Área de cada triángulo: A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 576 = 144\sqrt{3} \, \text{cm}^{2}.
4. Área total: A = 6\cdot144\sqrt{3} = 864\sqrt{3} \approx 1496 \, \text{cm}^{2}.