Polígonos regulares, diagonales y área: ejercicios 9 a 15

Actividad de opción múltiple: se ha inscrito un decágono regular y se han trazado diagonales que lo dividen en 8 polígonos; se busca el ángulo menor entre un lado y una diagonal.

1. El decágono regular tiene n=10 lados, de modo que el ángulo externo vale E=\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ.
2. El ángulo interno es 180^\circ - E = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ.
3. Lados y diagonales son cuerdas de la circunferencia circunscrita al decágono: el ángulo que forman dos cuerdas que se cortan mide la mitad del arco que interceptan.
4. Cada lado intercepta un arco de 36^\circ. En la figura, la abertura mínima entre un lado y una diagonal trazada corresponde a un arco de dos lados consecutivos: 2 \times 36^\circ = 72^\circ.
5. Por lo tanto, el ángulo menor es \dfrac{72^\circ}{2}=36^\circ.

Actividad de opción múltiple: se afirma que el número de diagonales de un polígono regular es igual al triple de su número de vértices; se pide el ángulo central.

1. Sea n el número de vértices. Fórmula de diagonales: D=\dfrac{n(n-3)}{2}.
2. Planteamos la igualdad \dfrac{n(n-3)}{2}=3n.
3. Como n\neq 0, dividimos entre n: \dfrac{n-3}{2}=3.
4. Despejamos: n-3=6 \Rightarrow n=9.
5. Comprobación: D=\dfrac{9\times 6}{2}=27 y 3n=3\times 9=27. El polígono es un eneágono.
6. Ángulo central: C=\dfrac{360^\circ}{9}=40^\circ.

Actividad de correspondencia: se deben unir cinco características con el polígono que las cumple.

1. Tiene once lados: n=11 \Rightarrow Endecágono.
2. No tiene diagonales: desde un vértice solo se puede trazar una diagonal si n\geq 4; con n=3 no hay diagonales \Rightarrow Triángulo.
3. Su ángulo externo es la mitad de su ángulo interno: se cumple E=\dfrac{I}{2}, es decir \dfrac{360^\circ}{n}=\dfrac{1}{2}\left(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}\right). Multiplicando entre n: 720^\circ=180n-360^\circ \Rightarrow 1080^\circ=180n \Rightarrow n=6 \Rightarrow Hexágono (externo 60^\circ, interno 120^\circ).
4. Su ángulo central es recto: \dfrac{360^\circ}{n}=90^\circ \Rightarrow n=4 \Rightarrow Cuadrado.
5. Se divide en nueve triángulos congruentes desde su centro: un polígono de n lados se divide desde el centro en n triángulos, así que n=9 \Rightarrow Eneágono.

Pregunta abierta: una estrella de mar de cinco puntas se colocará en una vitrina circular del menor radio posible.

1. El menor círculo que contiene a una figura es su circunferencia circunscrita.
2. Si la estrella es regular, sus cinco puntas están todas a la misma distancia del centro (son los vértices externos).
3. Entonces el círculo de radio mínimo pasa exactamente por las cinco puntas.

Pregunta abierta: se pide la suma de los ángulos internos de un cuerpo de guitarra con forma de estrella.

1. Una estrella de cinco puntas dibujada como polígono simple tiene 5 vértices convexos y 5 vértices cóncavos (reflexos), es decir, n=10 lados.
2. Suma de ángulos internos: S=(n-2)\times 180^\circ.
3. S=(10-2)\times 180^\circ=8\times 180^\circ.
4. S=1440^\circ. Comprobación alternativa: pentágono central 540^\circ + cinco triángulos de las puntas 5\times 180^\circ=900^\circ, total 540^\circ+900^\circ=1440^\circ.

Actividad de opción múltiple: se observa un patrón de adoquines en un estacionamiento.

1. Se observa que las piezas no son regulares ni simétricas de forma uniforme.
2. Presentan lóbulos y muescas: algunos vértices están "hacia adentro" de la pieza, es decir, hay ángulos mayores a 180^\circ.
3. Una figura con al menos un vértice interior es un polígono cóncavo.
4. Cada pieza tiene seis lados, de modo que es un hexágono cóncavo (no regular, pues sus lados y ángulos no son iguales).

Actividad de opción múltiple: se da un decágono regular de lado 15\,\text{cm} cuya apotema (distancia del centro a un lado) mide 23{,}08\,\text{cm}.

1. Perímetro: P=10\times 15\,\text{cm}=150\,\text{cm}.
2. Fórmula del área de un polígono regular: A=\dfrac{P\times a}{2}, donde a es la apotema.
3. Sustitución: A=\dfrac{150\,\text{cm}\times 23{,}08\,\text{cm}}{2}.
4. A=\dfrac{3462\,\text{cm}^2}{2}.
5. A=1731\,\text{cm}^2. Verificación: 75\times 23{,}08=1731.