Matematica · 1ro BGU · 2024 — Página 44

Q: ¿Cómo la optimización se utiliza para mejorar procesos?

Introduce el proceso de optimización con derivadas y presenta tres problemas: distancia por integración de la velocidad, dimensiones óptimas de una caja sin tapa y marco rectangular de coste mínimo.

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 3: Optimización e integrales definidas

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5a) 150 m; 5b) $x\approx 12.25$ cm, $h\approx 6.12$ cm; 5c) $x=2$ dm, $y=4$ dm, coste $32.

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Solución — Página 44

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Ejercicio 5

a

$v(t)=3t^{2}+5$ . Distancia $=\int_{0}^{5}(3t^{2}+5)dt=[t^{3}+5t]_{0}^{5}=125+25=150$ m.

Ejercicio 5

b

Caja sin tapa, base cuadrada $x\times x$ , altura $h$ , área lateral+base $=x^{2}+4xh=450$ . Volumen $V=x^{2}h$ . Despejar $h=\dfrac{450-x^{2}}{4x}$ ; $V(x)=x^{2}\cdot \dfrac{450-x^{2}}{4x}=\dfrac{x(450-x^{2})}{4}=\dfrac{450x-x^{3}}{4}$ . Derivar: $V'(x)=\dfrac{450-3x^{2}}{4}=0\Rightarrow x^{2}=150\Rightarrow x=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\approx 12.25$ cm. Luego $h=\dfrac{450-150}{4\cdot 5\sqrt{6}}=\dfrac{300}{20\sqrt{6}}=\dfrac{15}{\sqrt{6}}=\dfrac{15\sqrt{6}}{6}\approx 6.12$ cm.

Ejercicio 5

c

Marco rectangular con área $xy=8$ . Coste $C=2\cdot 2y+4\cdot 2x=4y+8x$ (donde $y$ es lateral, $x$ superior/inferior). Sustituir $y=8/x$ : $C(x)=8x+\dfrac{32}{x}$ . Derivar: $C'=8-\dfrac{32}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=2$ ; $y=4$ . $C=8(2)+\dfrac{32}{2}=16+16=32$ dólares.

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Tema 3: Optimización e integrales definidas Responde la siguiente pregunta:

¿Cómo la optimización se utiliza para mejorar procesos, maximizar beneficios o minimizar costos en campos como la ingeniería, la gestión empresarial o la planificación logística?

¿Sabías qué?

Los pasos para resolver un ejercicio de optimización son los siguientes:

Identificar la función a optimizar. La función a optimizar es la función que se desea maximizar o minimizar. En algunos casos, la función a optimizar puede estar implícita en el enunciado del problema.

Identificar las variables de la función. Las variables de la función son los valores que se pueden variar para optimizar la función.

Establecer las restricciones del problema. Las restricciones del problema son las condiciones que deben cumplirse para que la solución sea válida.

Resolver la ecuación de la primera derivada. La ecuación de la primera derivada es una ecuación que relaciona las variables de la función. Esta ecuación se puede usar para encontrar los puntos críticos de la función.

Examinar los puntos críticos. Los puntos críticos de la función pueden ser máximos, mínimos, o puntos de silla. Para determinar el tipo de extremo, se puede usar el criterio de la segunda derivada.

Comprobar las restricciones. Una vez que se han encontrado los puntos críticos, se deben comprobar las restricciones del problema para determinar si son soluciones válidas.

Resuelvo los siguientes problemas: a) Un automóvil parte del reposo, y se mueve a una velocidad dada numéricamente por

v=(3t?+5)T—, Determino la distancia recorrida por el automóvil en los primeros 5 segundos.

b) Se desea fabricar una caja sin tapa, con una base cuadrada y con un área de 450 cm? ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja si se necesita que el volumen sea máximo?

c) Se desea construir un marco rectangular de madera que encierre una fotografía con una superficie de 8 dm?. El precio del marco lateral es $2 por cada dm y el del marco superior e inferior es de $4 por cada dm. Calculo las dimensiones del marco para que su coste sea mínimo. ¿Cuál es este coste?

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