Ejercicios 4-7: sucesiones, límites, aplicaciones e inducción

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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4a) $a_{n}=4n-1$ ; 4c) $a_{n}=\dfrac{2n}{2n-1}$ ; 5c) $L=4$ ; 6a) ≈19.67 trimestres; 6b) suma $ $59\,400$ .

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 15 min lectura

Solución — Página 40

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ejercicio 4

(a) $3,7,11,15,19,\ldots$ : PA con $d=4$ ; $a_{n}=4n-1$ . (b) $10,14,18,22,29,\ldots$ : los primeros cuatro son PA con $d=4$ pero el quinto rompe el patrón; posiblemente errata; con datos 10,14,18,22,26: $a_{n}=4n+6$ . (c) $\tfrac{2}{1},\tfrac{4}{3},\tfrac{6}{5},\tfrac{8}{7}$ : $a_{n}=\dfrac{2n}{2n-1}$ .

Ejercicio 5

a

$a_{n}=\dfrac{9(2^{n-1})+4\cdot 3^{n}}{9(2^{n-1})+4\cdot 3^{n}}=1$ (numerador y denominador iguales; asumiendo lectura). Límite $1$ .

Ejercicio 5

c

$a_{n+1}=\sqrt[3]{60+a_{n}}$ . En el límite $L=\sqrt[3]{60+L}\Rightarrow L^{3}=60+L\Rightarrow L^{3}-L-60=0$ . Probar $L=4$ : $64-4-60=0$ ✓. Límite $L=4$ .

Ejercicio 6

a

Cuadruplicar capital a 7.3% trimestral: $(1.073)^{n}=4$ . $n=\dfrac{\log 4}{\log 1.073}=\dfrac{0.602}{0.0306}\approx 19.67$ trimestres.

Ejercicio 6

b

$A-B=5\,400$ ; $0.025A=0.03B\Rightarrow A=1.2B$ ; entonces $1.2B-B=5400\Rightarrow B=27\,000$ ; $A=32\,400$ ; suma $=59\,400$ .

Ejercicio 7

a

Demostrar por inducción $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ . Base $n=1$ : LI=1, LD= $\dfrac{1\cdot 1\cdot 3}{3}=1$ ✓. Paso inductivo: asumido para $n$ , probar para $n+1$ : $\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^{2}=\dfrac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$ . Expandir y verificar.

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Deduzco la fórmula del término general de cada sucesión a partir de los siguientes términos: a) 3:7;11:15;19;... b) 10;14;18;22;29;...

2.4.6.

4.6: 8 Cd 73357

Calculo el límite de las siguientes sucesiones: an=) 92% 4 4(3D) sy

a) * 1orD+48) x= { (Vn + 1-Vn) ( A In + 1) vor}

b) "

c) Si {an jes una sucesión tal que a; V60y an+;=V 60+ a,,.Vn > 1, ¿cuál es el límite de la sucesión?

Resuelvo los siguientes problemas: a) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que un capital se cuadriplique a una tasa del 7,3% trimestral?

b) La diferencia entre los capitales de dos personas, A y B, es igual a $5 400. Si la primera coloca su capital al 2,5% y la segunda al 3%, ambos reciben el mismo interés después de cierto tiempo.

¿Cuál es la suma de sus capitales?

c) Miguel ha separado su capital en tres partes para imponerlas al a%, 2a% y (2a+2)%, respectivamente. Sabiendo que las tres partes le producen igual interés,

¿cuánto es la parte impuesta al 2a%?