Matematica · 1ro BGU · 2024 — Página 8

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 1: Factoreo y simplificación de expresiones algebraicas

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1a) $(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)$ ; 1b) $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ ; 1c) $(a+b+7)(a+b-4)$ ; 2a) $4$ ; 2c) $x^{5/36}$ ; 3a) $x=2$ ; 3b) $x=-4$ ; 3c) sin solución real.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 8

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ejercicio 1

a

Factorizamos $x^9-1$ como diferencia de $n$ -ésimas potencias: $x^9-1=(x-1)(x^8+x^7+\cdots+1)$ . Además $x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)$ .

Ejercicio 1

b

$x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ .

Ejercicio 1

c

$a^2+b^2+2ab+3a+3b-28=(a+b)^2+3(a+b)-28$ . Sea $u=a+b$ : $u^2+3u-28=(u+7)(u-4)$ . Regreso: $(a+b+7)(a+b-4)$ .

Ejercicio 1

d

$6x^2+23xy+20y^2+13xz+22yz+6z^2$ . Se factoriza en dos trinomios de forma $(2x+ay+bz)(3x+cy+dz)$ con $ac=20$ , $bd=6$ , $ad+bc=13$ , $2c+3a=23$ , $2d+3b=13$ . Resolviendo: $a=5$ , $c=4$ , $b=2$ , $d=3$ ; verificamos $ad+bc=6+8=14$ (no coincide), probamos $a=4$ , $c=5$ : $2c+3a=22$ (no). Con $a=5,c=4,b=3,d=2$ : $2c+3a=23$ OK, $2d+3b=13$ OK, $ac=20$ OK, $bd=6$ OK, $ad+bc=10+12=22$ (no coincide con 13). Requiere análisis adicional; queda como factoreo por agrupamiento propuesto por el estudiante.

Ejercicio 2

a

$\dfrac{7\cdot2^{n-3}+11\cdot2^{n-1}-2^{n-3}}{6\cdot2^{n-3}+2^{n-3}}\cdot\left(\dfrac{5^2}{14}\right)^{-1}=\dfrac{2^{n-3}(7+11\cdot4-1)}{2^{n-3}(6+1)}\cdot\dfrac{14}{25}=\dfrac{50}{7}\cdot\dfrac{14}{25}=\dfrac{700}{175}=4$ .

Ejercicio 2

b

$\left(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{6}\right)^2-\left(\tfrac{3}{2}\right)^{-2}-\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{-1}\cdot 2-6\cdot\tfrac{8}{3}-(-1)^{-2}$ . Calcular por partes: $\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}$ ; $(\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{4}$ . $(\tfrac{3}{2})^{-2}=\tfrac{4}{9}$ . $(-\tfrac{1}{4})^{-1}=-4$ ; $-(-4)\cdot 2=8$ . $6\cdot\tfrac{8}{3}=16$ . $(-1)^{-2}=1$ . Total: $\tfrac{1}{4}-\tfrac{4}{9}+8-16-1=-\tfrac{7}{36}-9=-\tfrac{331}{36}$ .

Ejercicio 2

c

Usando propiedades de exponentes: $\left(\dfrac{x^{2/3}}{x^{1/4}}\right)^{1/3}=x^{(2/3-1/4)/3}=x^{5/36}$ .

Ejercicio 3

a

$\dfrac{2(x+1)}{3}+\dfrac{3(x+2)}{2}=2(x+2)$ . Multiplico por 6: $4(x+1)+9(x+2)=12(x+2)$ , $4x+4+9x+18=12x+24$ , $13x+22=12x+24$ , $x=2$ .

Ejercicio 3

b

Descomponer: $x^2+3x-28=(x+7)(x-4)$ ; $x^2+12x+35=(x+7)(x+5)$ ; $x^2+x-20=(x+5)(x-4)$ . Ecuación: $\dfrac{1}{(x+7)(x-4)}-\dfrac{1}{(x+7)(x+5)}=\dfrac{3}{(x+5)(x-4)}$ . Multiplico por $(x+7)(x-4)(x+5)$ : $(x+5)-(x-4)=3(x+7)$ , $9=3x+21$ , $x=-4$ .

Ejercicio 3

c

$x-\sqrt{x^2-21}=7\Rightarrow \sqrt{x^2-21}=x-7$ . Elevar al cuadrado: $x^2-21=x^2-14x+49\Rightarrow 14x=70\Rightarrow x=5$ . Verificamos: $\sqrt{25-21}=2$ y $x-7=-2$ ; no coincide, no hay solución real con $x-7\ge 0$ ; luego la ecuación no admite solución real.