Matematica · 1ro BGU · 2024 — Página 12

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 4: Resolución de sistemas 3x3 (Sustitución, Cramer y Gauss)

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Respuesta rápida

1a) $x_{1}=\tfrac{3}{2},\ x_{2}=-\tfrac{1}{2},\ x_{3}=\tfrac{1}{2}$ ; 1b) $x=-\tfrac{101}{16},\ y=-\tfrac{135}{16},\ z=-\tfrac{3}{4}$ ; 1c) $x=1,\ y=2,\ z=1$ ; 2a) familia de soluciones parametrizada por $z=t$ ; 2b) requiere término independiente completo.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 12

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ejercicio 1

a

Sistema: $-x_{1}+x_{2}=-2$ , $3x_{1}+3x_{3}=6$ , $3x_{1}-x_{3}=4$ . De la segunda: $x_{1}+x_{3}=2\Rightarrow x_{3}=2-x_{1}$ . Sustituir en la tercera: $3x_{1}-(2-x_{1})=4\Rightarrow 4x_{1}=6\Rightarrow x_{1}=\tfrac{3}{2}$ . Luego $x_{3}=\tfrac{1}{2}$ y de la primera $x_{2}=x_{1}-2=-\tfrac{1}{2}$ .

Ejercicio 1

b

Sistema: $x+y-z=-14$ , $x-3y+2z=16$ , $2x-2y-3z=5$ . De 1: $x=-14-y+z$ . Sustituir en 2: $(-14-y+z)-3y+2z=16\Rightarrow -14-4y+3z=16\Rightarrow -4y+3z=30$ . Sustituir en 3: $2(-14-y+z)-2y-3z=5\Rightarrow -28-4y-z=5\Rightarrow -4y-z=33$ . Restar: $4z=-3\Rightarrow z=-\tfrac{3}{4}$ . Entonces $-4y=33+\tfrac{3}{4}=\tfrac{135}{4}\Rightarrow y=-\tfrac{135}{16}$ . Y $x=-14-y+z=-14+\tfrac{135}{16}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{-224+135-12}{16}=-\tfrac{101}{16}$ .

Ejercicio 1

c

Sistema: $2x+y-z=3$ , $5x-y+2z=1$ , $x+2y-3z=-2$ . Sumar 1 y 2: $7x+z=4$ . De 1: $z=2x+y-3$ . Sustituir en 2: $5x-y+2(2x+y-3)=1\Rightarrow 9x+y=7$ . Sustituir en 3: $x+2y-3(2x+y-3)=-2\Rightarrow -5x-y=-11\Rightarrow 5x+y=11$ . Restar con $9x+y=7$ : $-4x=-4\Rightarrow x=1$ ; luego $y=2$ y $z=2\cdot 1+2-3=1$ .

Ejercicio 2

a

El sistema 2a tiene sólo 2 ecuaciones y 3 incógnitas: $x+y-z=-12$ ; $x-2y-3z=5$ . Se resuelve dejando una variable libre. Restar: $(x+y-z)-(x-2y-3z)=-12-5\Rightarrow 3y+2z=-17$ . Con $z=t$ : $y=\tfrac{-17-2t}{3}$ y $x=-12-y+z=-12-\tfrac{-17-2t}{3}+t=\tfrac{-36+17+2t+3t}{3}=\tfrac{5t-19}{3}$ . Familia paramétrica.

Ejercicio 2

b

Sistema (nota: el término independiente de la segunda ecuación está incompleto en el texto). Suponiendo $7x+3y-4z=b$ , se aplica la eliminación gaussiana a la matriz aumentada; se muestra el procedimiento genérico.

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Preguntas que la gente también hace

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

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📌 Antes de leer esto

• Sistemas 2x2
• Operaciones con matrices

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Tema 4: Resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas por los metodos de: Sustitución, Cramer y Gauss

Responda la pregunta:

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

Resuelvo los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a) “xX, +X, = -2 3x, + 3X, = 6 3X,- X= 4 Xt y -Z = -14 b) Lx - By +22 = 16 2x -2y -3z =5 2x+y -2 = 3

al Sx -y +22=1

xX + 2y-3z = -2

Resuelvo los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación gaussiana:

a) x+y-2=-12 Xx -2y -32=53

Il a

SX - 2y + 3z b) 7x + 3y - 4z 2x. + 4y +32 =5

(0) / METACOGNICIÓN )

¿En qué otras ocasiones puedo usarlo? ¿Para qué me ha servido? ¿Cómo lo he aprendido?

¿Qué he aprendido?

¿Sabías qué?

La principal contribución de Cramer es que nos permite resolver sistemas de ecuaciones sin necesidad de realizar operaciones de eliminación o sustitución, como en otros métodos como Gauss-Jordan. En su lugar, utiliza determinantes para encontrar los valores de las variables.

El método de Cramer se basa en la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones y en los determinantes de las matrices obtenidas al reemplazar cada columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes. Al calcular estos determinantes, podemos encontrar los valores de las variables del sistema.

Es importante tener en cuenta que el método de Cramer solo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones y variables. Además, si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, el sistema puede no tener solución o tener infinitas soluciones.

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