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Término general, límites de sucesiones e inducción

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

4a) $a_n=4n-1$ ; 4c) $a_n=2n/(2n-1)$ . 5a) 3; 5b) 1/2; 5c) 4. 6a) $\approx 4.9$ años. 7a) Se demuestra por inducción.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 30 min lectura

Solución — Página 40

Matematica · 2ro BGU · 2024

Ejercicio 4

a: $3,7,11,15,19,\ldots$

PA con $a_1=3$ , $d=4$ : $a_n=4n-1$ .

Ejercicio 4

b: $10,14,18,22,29,\ldots$

Los primeros 4 son PA ( $d=4$ ), pero el quinto rompe. Puede ser errata del libro; posible $a_n=4n+6$ para $n\leq 4$ y término 29 discrepante.

Ejercicio 4

c: $2/1, 4/3, 6/5, 8/7,\ldots$

$a_n=\dfrac{2n}{2n-1}$ .

Ejercicio 5

a: $a_n=\dfrac{9(2^{n-1})+4(3^n)}{9(2^{n-1})+4(3^{n-1})}$

Dividimos por $3^n$ : numerador $\to 4$ , denominador $\to 4/3$ . Límite $=4/(4/3)=3$ .

Ejercicio 5

b: $a_n=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n+2/1}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n+2}$

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ ; multiplicando por $\sqrt{n+2}$ : $\dfrac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to \dfrac{1}{2}$ cuando $n\to\infty$ .

Ejercicio 5

c: $a_1=\sqrt[3]{60}$, $a_{n+1}=\sqrt[3]{60+a_n}$

Si $L=\lim a_n$ : $L=\sqrt[3]{60+L}\Rightarrow L^3-L-60=0$ . Probamos $L=4$ : $64-4-60=0$ ✓. Límite $=4$ .

Ejercicio 6

a: cuadruplicar capital al 7.3% trimestral

$4=(1.073)^t\Rightarrow t=\ln 4/\ln 1.073=1.386/0.0704\approx 19.7$ trimestres $\approx 4.9$ años.

Ejercicio 7

a: demostrar $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)/3$

Base $n=1$ : LHS $=1$ ; RHS $=1\cdot 1\cdot 3/3=1$ ✓.

Paso inductivo: asumir para $n$ , sumar $(2n+1)^2$ : $\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^2=\dfrac{(2n+1)[n(2n-1)+3(2n+1)]}{3}=\dfrac{(2n+1)(2n^2-n+6n+3)}{3}=\dfrac{(2n+1)(2n^2+5n+3)}{3}=\dfrac{(2n+1)(2n+3)(n+1)}{3}$ .

Que coincide con la fórmula para $n+1$ . QED.

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• Sucesiones
• Límites

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Derivadas e integrales

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Deduzco la fórmula del término general de cada sucesión a partir de los siguientes términos: a) 3:7;11:15;19;... b) 10;14;18;22;29;...

2.4.6.

4.6: 8 Cd 73357

Calculo el límite de las siguientes sucesiones: an=) 92% 4 4(3D) sy

a) * 1orD+48) x= { (Vn + 1-Vn) ( A In + 1) vor}

b) "

c) Si {an jes una sucesión tal que a; V60y an+;=V 60+ a,,.Vn > 1, ¿cuál es el límite de la sucesión?

Resuelvo los siguientes problemas: a) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que un capital se cuadriplique a una tasa del 7,3% trimestral?

b) La diferencia entre los capitales de dos personas, A y B, es igual a $5 400. Si la primera coloca su capital al 2,5% y la segunda al 3%, ambos reciben el mismo interés después de cierto tiempo.

¿Cuál es la suma de sus capitales?

c) Miguel ha separado su capital en tres partes para imponerlas al a%, 2a% y (2a+2)%, respectivamente. Sabiendo que las tres partes le producen igual interés,

¿cuánto es la parte impuesta al 2a%?