Matematica · 2ro BGU · 2024

Portada del libro de Matemática para Segundo de Bachillerato General del Ministerio de Educación de la República del Ecuador. Muestra el título MATEMÁTICA, la indicación de Bachillerato General, el número 2 grande y la mención Segundo de Bachillerato, con el logo del Ministerio de Educación y el escudo de la República del Ecuador.

Portadilla del libro de Matemática de Bachillerato General, texto del estudiante para la transición curricular. Incluye una imagen ilustrativa con un birrete académico, un lápiz rojo y números coloridos sobre una hoja de respuestas, junto al ícono de un cohete y el enlace tinyurl.

Página de créditos editoriales del libro de Matemática 2 BGU. Enumera al equipo técnico del Mineduc, los responsables de lineamientos gráficos, diseño y diagramación (Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí - Uleam-EP), la primera edición 2024, el ISBN 978-9942-662-31-6, los datos de contacto del Ministerio de Educación en Quito-Ecuador y la nota de distribución gratuita y prohibida su venta.

Índice general del texto de Matemática 2 BGU. Está organizado en tres secciones: Sección 1 (p. 5) con temas de álgebra, sistemas de ecuaciones, matrices, funciones y evaluación en p. 33; Sección 2 (p. 36) con sucesiones, progresiones, derivadas, integrales, optimización, vectores y ecuaciones de la recta, planos, y evaluación en p. 55; Sección 3 (p. 57) con vectores, problemas analíticos de cálculo, estadística descriptiva, probabilidades, regresión lineal simple y evaluación en p. 73. Termina con Desafíos del Bachillerato en p. 76.

Infografía introductoria que explica al estudiante qué es el texto escolar, cómo se organiza, qué va a aprender y cómo lo va a aprender. Presenta cuatro secciones enumeradas con íconos y colores: (1) definición como material curricular didáctico, (2) organización por secciones con lecturas, actividades, desafíos y flotantes con datos curiosos, (3) qué aprenderá (conocimientos, habilidades y actitudes útiles para el proyecto de vida), y (4) cómo lo aprenderá (desarrollo de actividades prácticas relacionadas con la vida cotidiana).

Apertura de la Sección 1 del texto. Presenta los objetivos O.M.5.1 (proponer soluciones creativas con operaciones y modelos matemáticos) y O.M.5.3 (desarrollar estrategias de cálculo y resolución de problemas). Enlista los 9 temas de la sección: factoreo, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, ecuaciones e inecuaciones lineales, matrices, funciones y sus operaciones, funciones trigonométricas/exponenciales/logarítmicas y gráficas. Detalla los criterios de evaluación CE.M.5.1, CE.M.5.2 y CE.M.5.3.

Página ilustrativa decorativa que abre la Sección 1. Muestra a tres jóvenes que suben una escalera formada por libros apilados de colores (azul, rojo, amarillo), ayudándose mutuamente de la mano, simbolizando el aprendizaje colaborativo. En la esquina izquierda se indica la fuente https://shorturl.at/kyEO0.

Página de arranque del Tema 1. Pide primero justificar la diferencia entre Aritmética y Álgebra. Luego propone tres actividades: (1) factorizar cuatro expresiones (x^9-1, x^4-13x^2+36, a^2+b^2+3a+3b+2ab-28, y un polinomio con tres variables), (2) simplificar tres expresiones con potencias y fracciones, y (3) resolver tres ecuaciones (racional lineal, sistema con fracciones racionales y una ecuación con radical). Incluye un cuadro '¿Sabías qué?' que define expresión algebraica.

Página del Tema 2. Se pide justificar cuántas soluciones puede tener un sistema 2x2. (4) Resolver tres sistemas: (a) inconsistente (rectas paralelas), (b) infinitas soluciones (rectas coincidentes), (c) sistema con solución única. (5) Resolver tres inecuaciones lineales y expresar como intervalo. (6) Simplificar dos expresiones con radicales y potencias. Incluye cuadro '¿Sabías qué?' sobre sistemas 2x2.

Tema 3. Pregunta introductoria: ¿por qué las fórmulas físicas/químicas son ecuaciones? Cuadro '¿Sabías qué?' con explicación de los pasos para resolver ecuaciones de primer grado. Ejercicio 7: despejar variable en tres fórmulas: (a) la distancia $r$ de la Ley de Coulomb, (b) $R_1$ en resistencias en paralelo, (c) $x$ en la velocidad de un péndulo simple. Ejercicio 8: resolver tres inecuaciones con valor absoluto y expresar el intervalo solución.

Ejercicio 9: (a) si $x^x=2$, calcular $E=x^{3x}\cdot x^{x+1}$; (b) si $x,y\in\mathbb{Z}$ con $y-x\geq 2$, hallar el valor más simple de una raíz de índice $y-x$. Ejercicio 10a: hallar $m$ de modo que $y$ sea menor que $x$ en 7 unidades en el sistema $\{2x+7y=m,\ x+9y=m\}$. Se incluye recuadro 'Trabajemos por competencias' y sección de METACOGNICIÓN con las preguntas '¿Qué he aprendido?', '¿Cómo lo he aprendido?', '¿Para qué me ha servido?', '¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?'.

Introducción al Tema 4 sobre sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas usando los métodos de Sustitución, Cramer y Gauss. Pregunta introductoria sobre el uso cotidiano de sistemas de ecuaciones. Ejercicio 1 (a, b, c): resolver tres sistemas 3x3 por sustitución. Ejercicio 2 (a, b): resolver sistemas por eliminación gaussiana (en 2a solo se dan dos ecuaciones y en 2b la segunda ecuación aparece sin término independiente en el OCR). Cuadro '¿Sabías qué?' explica el método de Cramer basado en determinantes.

Tema 5. Introducción a matrices. Pregunta introductoria sobre cómo llenar la matriz cuando faltan variables. Cuadro '¿Sabías qué?' con definición de matriz (filas x columnas). Ejercicio 3a: dadas $A$ y $B$ matrices 3x3, calcular $x,y,z$ para que $A+B$ sea una matriz dada. 3b: hallar $a,b,c$ para que se cumpla una igualdad entre suma de matrices 2x3.

Página con ejercicios diversos: Ejercicio 4: método de determinantes para (a) sistema 2x2, (b) sistema 3x3, (c) valor del parámetro que hace que un sistema se satisfaga para todos $x\in\mathbb{R}^+$ y $y\in\mathbb{R}$. Ejercicio 5: problemas verbales (a) transporte de María, (b) proyecto colaborativo Abigail/Bernardo/Camilo. Ejercicio 6: simplificar tres fracciones algebraicas. Ejercicio 7: matriz triangular inferior y operaciones matriciales. Ejercicio 8: problemas con eliminación gaussiana (a) compra de regalos con descuento, (b) estadio de fútbol con socios.

Continuación de problemas: Ejercicio 8b (estadio con proporción 13:3 de socios/no socios, socios B superan en 6500 a los de A). Ejercicio 9: encontrar $\alpha,\beta$ tales que $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ con $\vec{u}=(2,-3,4)$, $\vec{v}=(-5,1,0)$, $\vec{w}=(4,2,1)$. Ejercicio 10: sistema 4x4 con parámetro $a$ para hallar $z$. Ejercicio 11: matriz inversa para $A$, $B$ y $C$ usando matrices ampliadas. Ejercicio 12a: sistema 3x3. 12b: problema de bocadillos/refrescos/papas con descuento.

Sección 'Juntos leemos' con el título '¿Alguna vez has pensado…?'. Presenta el poema 'Armonía, belleza y precisión' de Juan Manuel Sánchez Panta. El poema recorre poéticamente los conceptos de series numéricas, ecuaciones polinomiales, sucesiones, rectas, coordenadas, movimiento de figuras, Pitágoras, Leibniz, Newton, funciones y ecuaciones diferenciales, geometría, convexidad, factorización, derivadas, integrales, álgebra abstracta (anillos, cuerpos, campos) y espacio de dimensión superior. Se pide al estudiante reflexionar qué le agradó o no.

Página ilustrativa sobre fondo azul que muestra a un profesor apuntando con un puntero a una pizarra con la ley de senos ($\sin\alpha/\sin A=\sin b/\sin B$), un triángulo etiquetado A, B, C, un prisma con dimensiones $\ell, w, h$ y un diagrama de sectores; frente a él dos estudiantes en una mesa con libros. Un reloj de pared en la parte superior derecha. Sirve como imagen introductoria del bloque de funciones/trigonometría.

Inicio del Tema 6. Pregunta introductoria: ¿qué elementos deben existir para que exista una función? Cuadro '¿Sabías qué?' explica: (1) relación dominio-codominio y (2) unicidad de la imagen. Ejercicio 1a: completar la tabla con características (dominio, recorrido, máximo/mínimo, monotonía creciente/decreciente, gráfica) para $f(x)=3x+\dfrac{2}{1}=3x+2$.

Continuación del ejercicio 1: completar tablas de características para (b) $f(x)=\dfrac{1}{x^2}+3x-3$ y (c) $f(x)=\sqrt{x-3}+3$.

Ejercicio 1d: características de $f(x)=|x-5|+2$. Ejercicio 2: clasificar 9 funciones (a-i) como inyectivas, biyectivas o sobreyectivas: (a) $y=\dfrac{1}{x^2-3}$, (b) $y=\sqrt{x^4-x^2+4x}$, (c) $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1-x}}$, (d) $y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}$, (e) $y=\dfrac{1}{x^2+3}$, (f) $y=\sqrt{\dfrac{x^4-5x^2+4}{x^2-5x+1}}$, (g) $y=\sqrt{x^2+x+1}$, (h) $y=\dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+1}}$, (i) $y=\sqrt{x-1}\sqrt{1-x}$. Cierre con METACOGNICIÓN.

Tema 7. Pregunta introductoria sobre si $V=e/t$ es una función. Cuadro '¿Sabías qué?' repasa métodos para resolver ecuaciones cuadráticas (factorización, fórmula general, completar el cuadrado y gráfico). Ejercicio 3: dadas $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ y $g(x)=\sqrt{x^2-4}$, realizar $(f+g)$, $(f-g)$, $(g-f)$ y $(f/g)$. Ejercicio 4: encontrar la intersección entre (a) $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+3$ y $g(x)=x^2-5x+1$; (b) $f(x)=x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{9}{5}$ y $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+5x-3$.

Tema 8. Pregunta introductoria sobre cómo identificar una función cuadrática. Cuadro '¿Sabías qué?' explica las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). Ejercicio 5: rectas tangentes a (a) $f(x)=3x^2-1$ en $x=3$; (b) $f(x)=x^2-x$ en $x=8$; (c) $f(x)=3x^2-5x-12$ en $x=-4$. Ejercicio 6: encontrar la función cuadrática que corta a la recta $y=(-5x-3)/3$ en los puntos $(-3,2)$ y $(3,-8)$ y cuyo vértice es (a) $A(1,5)$; (b) $B(0,-12)$.

Ejercicio 7: resolver (factorizar/simplificar) polinomios (a) $x^4-3x^3-9x^2+23x-12$ y (b) $9x^5+\dfrac{1}{3}x^4+7x^3-9x^2-\dfrac{1}{3}x-7$. Ejercicio 8: completar tablas de características para funciones racionales (a) $f(x)=\dfrac{4x^2-9}{2x^2-x-3}$ y (b) $f(x)=\dfrac{2x^2-2x}{x^2-4x+4}$.

Continuación del ejercicio 8: (c) caracterizar $f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x-4}$. Ejercicio 9: dadas $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}$ y $g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}$, realizar (a) $(f+g)(x)$, (b) $(f\cdot g)(x)$ y (c) $(f/g)(x)$. Cierra con METACOGNICIÓN.

Tema 9. Pregunta: diferencia entre seno y coseno. Ejercicio 10: completar tabla con dominio, recorrido, ceros, monotonía, simetría, periodicidad y asíntotas para $\sin, \cos, \tan, \sec, \csc, \cot$. Ejercicio 11: graficar en calculadora. Ejercicio 12: graficar y enlistar características de (a) $f(x)=(1/4)^{-x}$, (b) $f(x)=4^{-x}$, (c) $f(x)=(\sqrt{2})^{-x}$, (d) $f(x)=(\sqrt{2})^x$. Ejercicio 13: logaritmos - (a) base de $\log_b 8=6$, (b) número con $\log_{64} N=-2/3$, (c) $\log_9 27$.

Ejercicio 14: trazar la gráfica y determinar dominio, recorrido, ceros, extremos y paridad de (a) $y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{7}$, (b) $f(x)=\sqrt{-x+4}$, (c) $g(x)=x^4-5x^3+2x^2+8x$, (d) $h(x)=|x+1|+|x-2|$. Ejercicio 15: composiciones - (a) $f(x)=\sqrt{4x-x^2}$, $g(x)=x-2$: hallar $(f\circ g)(x)$; (b) $f(x)=\sqrt{x+1}$, $x\in[-1,3]$ y $g(x)=x^2+2x$, $x\in[0,5]$: gráfica de $(f\circ g)(x)$; (c) $f(x)=|x|-1$, $g(x)=\dfrac{4x}{x-3}$: identificar cuál de 4 gráficas representa $(f\circ g)$.

Ejercicio 16: características de $y=-3x^2+6x-3$ (dominio, rango, intersecciones, vértice, monotonía, gráfica). Ejercicio 17: velocidad instantánea de $x(t)=(3t+2)^2$ en $t=5$ usando límites. Ejercicio 18: verificación con GeoGebra. Ejercicio 19: dadas $f(x)=x^4-15x^2+10x+24$ y $g(x)=(x-5)/(x-1)^8$, calcular y graficar $(f+g)$, $(g-f)$, $(f\cdot g)$, $(g/f)$. Ejercicio 20: gráfica y asíntotas de (a) $f(x)=(3x^2-16x+5)/(3x^2-13x+4)$, (b) $g(x)=1/(x^2+3x+2)$, (c) $h(x)=18/x^2-36/x$.

Ejercicio 21: cisterna cilíndrica de 100 L. (a) Escribir el área total (con tapa) como función del radio. (b) Graficar. Ejercicio 22: completar tabla de características (dominio, ceros, recorrido, monotonía, simetría, asíntotas, periodicidad, máximos y mínimos) para (a) $f(x)=6\sin(x-\pi/4)+2$ y (b) $f(x)=5\sec(4x+2)-7$.

Ejercicio 23: población de orugas $P(t)=8000+2000\sin(\pi t/4)$, $0\leq t\leq 12$. Preguntas: población inicial, día 5, máximo y cuándo llega a 600. Ejercicio 24: graficar (a) $(1.5)^x$, (b) $(0.7)^x$, (c) $5^{0.2x}$. Ejercicio 25: convergencia de series $\sum 1/(2^n+n^2)$, $\sum \sin^2 n/(n(n+1))$, $\sum 1/n^n$. Ejercicio 26: ecuaciones (a) $4^{x-1}=3^{3x}$, (b) $2.3^x=1.5^{x+1}$, (c) $\sqrt{x}=-1$. Ejercicio 27: cultivo de bacterias $N(t)=B\cdot 0.04t$; 2 500 iniciales; hallar en 2 h.

Ejercicio 28: (a) si $f(x+36/x)=3x-2$, determinar $f(-5)$; (b) si $(f\circ g)(x)=2x^2-6x+7$ y $f(x)=2x+3$, hallar $g(x)$. Ejercicio 29: graficar (a) $y=\sqrt{x}$ desplazada 7 izquierda; (b) $f(x)=1/\sqrt{5-x}$ con alargamiento triple horizontal; (c) $g(x)=(x-1)/(x(x-2))$ con reflexión horizontal. Ejercicio 30: graficar $y=\sin(x+1/x)$, $f(x)=\sin((x^2+x-6)/(x+1))$, $y=(x-3)+1$. Ejercicio 31: graficar 4 funciones a trozos. Ejercicio 32: intersecciones y multiplicidad de $f(x)=5(5x+8)(x+4)(x-8)^2(x-9)$.

Ejercicio 32(cont): (c) expresar función anidada; (d) Teorema del valor medio en $x=2$ y $x=3$. Ejercicio 33: rueda moscovita con tabla de tiempo vs altura, determinar función. Ejercicio 34: modelo periódico para datos en tabla (x en grados, y valores), gráfica e inversa. Ejercicio 35: sistemas por método gráfico (a) lineal, (b) sistema con radical/exponencial. Ejercicio 36: graficar (a) $y=|\ln(x+2)|+3$, (b) $f(x)=1-|\ln(x+2)|$, (c) función a trozos con exponencial y logarítmica.

Ejercicio 37: (a) $a_n=5,\ b_n=-4,\ c_n=2/3$: hallar el valor de $d_n=(5a_n+3a_nb_n)/(4c_n)$. (b) hallar el término n-ésimo de la sucesión $-2/1, 8/2, -26/6, 80/24, -242/120, \ldots$ y determinar convergencia. Fondo con imagen decorativa. Cierra con METACOGNICIÓN.

Página cuadriculada en blanco titulada 'Notas'. Espacio para que el estudiante tome apuntes o resuelva ejercicios.

Evaluación de la Sección 1. Ejercicio 1: descomponer en factores (a) $x^2+5x+6$, (b) $9x^2-12xy+4y^2$. Ejercicio 2: sistema 3x3 por sustitución: $\{x+y-z=-14, x-3y+2z=16, 2x-2y-3z=5\}$. Ejercicio 3: trabajo colaborativo (Abigail, Bernardo, Camilo). Ejercicio 4: matrices $A, B, C$ dadas; determinar $AB$ y $A+C$.

Continuación de la Evaluación de Sección I. Ejercicio 5: determinar la matriz inversa de $C=\begin{pmatrix}5/48&1/48&7/48\\1/48&-19/48&11/48\\13/48&-7/48&-1/48\end{pmatrix}$. Ejercicio 6: dadas $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x-2}$ y $g(x)=\dfrac{4x}{3x-2}$, calcular (a) $(f+g)(x)$, (b) $(f\cdot g)(x)$, (c) $(f\circ g)(x)$.

Sección 'Juntos leemos' con el cuento 'Una confusión cotidiana' de Franz Kafka. El relato narra los desencuentros entre dos personajes A y B que intentan reunirse en H para un negocio pero no logran coincidir por diferencias de tiempo y ruta. La lectura invita a reflexionar si con matemáticas (planificación de tiempos y trayectorias) podrían haber evitado la confusión. Menciona a Franz Kafka (1883-1924), escritor de Praga.

Apertura de la Sección 2. Objetivos O.M.5.4 (TIC y validez) y O.M.5.5 (pensamiento crítico y ancestral). Temas: (1) Sucesiones y Progresiones, (2) Derivadas e Integrales, (3) Optimización, (4) Vectores y ecuaciones de la recta, (5) Planos paralelos y perpendiculares. Criterios: CE.M.5.4 (sucesiones y progresiones), CE.M.5.5 (límites, derivadas, integrales), CE.M.5.6 (vectores R²), CE.M.5.8 (programación lineal).

Ilustración decorativa sobre fondo amarillo pastel de un estudiante con camiseta naranja que estudia con un libro abierto en su escritorio. A su alrededor: pila de libros, lámpara azul, tazas, cuaderno con papel arrugado, cuadros con conceptos matemáticos flotantes (triángulo con lados a,b,c, símbolo π, círculos con letras b,a,c, la fórmula $a^2+b^2=c^2$).

Tema 1. Pregunta introductoria sobre si se pueden sumar todos los números reales. Cuadro '¿Sabías qué?' con fórmulas de sucesiones aritmética ($a_n=a_1+(n-1)d$) y geométrica ($a_n=a_1\cdot r^{n-1}$). Ejercicio 1: hallar los primeros 5 términos de sucesiones por recurrencia (a) $a_1=2$, $a_{n+1}=5+a_n$; (b) $a_1=6$, $a_{n+1}=-a/(a-n)$; (c) $a_1=5$, $a_{n+1}=-3a_n$. Ejercicio 2: problemas con progresiones aritméticas y geométricas. Ejercicio 3: problemas de interés compuesto y continuo.

Ejercicio 4: deducir la fórmula del término general para (a) $3,7,11,15,19,\ldots$; (b) $10,14,18,22,29,\ldots$; (c) $2/1, 4/3, 6/5, 8/7,\ldots$. Ejercicio 5: calcular límites de sucesiones (racional exponencial, con radicales, y recurrencia $a_1=\sqrt[3]{60}$, $a_{n+1}=\sqrt[3]{60+a_n}$). Ejercicio 6: problemas de interés (cuadruplicación de capital, misma renta con distintos capitales, división en 3 partes con intereses iguales). Ejercicio 7: demostraciones por inducción.

Ejercicio 7 (cont.): (c) demostrar que $n^2+5n$ es divisible por 2 y (d) que $3n^2+15n+6$ es divisible por 6 para todo $n\geq 1$. Ejercicio 8: aplicar el teorema de la media aritmética a (a) suma $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{8/3}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{16/5}+\ldots+\sqrt[3]{4n/(n+1)}$ y (b) $\sqrt[n]{n!}$. Cierra con METACOGNICIÓN.

Ilustración sobre fondo azul: profesora con puntero y bocadillo de diálogo señala una pantalla con figuras geométricas (cilindro con radio y altura, cubo, cono, triángulo rectángulo). Un estudiante con expresión pensativa está sentado en un escritorio con libros y estuche de lápices. Planta decorativa en el suelo.

Tema 2. Pregunta sobre utilidad práctica de las integrales. Cuadro '¿Sabías qué?' explica usos de la derivada. Ejercicio 1: pendiente de tangente a (a) $y=3x^3$ en $x=2$, (b) $y=3x^2-1$ en $x=3$, (c) $f(x)=8x^3-7x^2$ en $x=0$. Ejercicio 2: derivadas (a) $y=3x^4-2x^3+5x$, (b) $f(x)=(x^2+2x-3)(x^3-x)$, (c) $g(x)=(x^2+3x+1)/(x^2-9x)$. Ejercicio 3: integrales definidas (a) $\int_1^3 (x^2-6x+10)dx$, (b) $\int_3^{11}\sqrt{2x+3}\,dx$, (c) $\int_1^a \sqrt{(tx+1)^3}\,dx$. Ejercicio 4: segunda derivada e integral de (a) $f(x)=2x^6-15x^4-1$, (b) $g(x)=(2x+1)/(3x-2)$, (c) $h(x)=x^2+8x$, (d) $y=(x/(x+1))^2$.

Tema 3. Pregunta sobre uso de la optimización. Cuadro '¿Sabías qué?' con los pasos: identificar función y variables, restricciones, primera derivada, puntos críticos y verificación. Ejercicio 5: (a) distancia recorrida en 5 s de un automóvil con $v=(3t^2+5)$ m/s; (b) caja sin tapa con base cuadrada y área total 450 cm² para maximizar volumen; (c) marco rectangular que encierra fotografía de 8 dm² (\$2/dm lateral, \$4/dm superior/inferior), minimizar costo.

Ejercicio 6: integrales definidas en $[0,3]$: (a) $\int (2x+e^x)dx$; (b) $\int (\pi+1)(\cos 2x)dx$; (c) $\int \sin^2 x\cos x\,dx$; (d) $\int e^{2x}\,dx$. Ejercicio 7: sólidos de revolución - (a) alrededor de $y=-1$ región entre $y=x^2$ y $y=\sqrt{x}$; (b) alrededor del eje $x$ región de $y=x^2-2x$ y eje $x$; (c) alrededor del eje $x$ región acotada por $y=x^2$, $x=0$, $x=2$. Ejercicio 8: integrales por partes.

Lectura 'Juntos leemos'. Poema anónimo 'El ladrón de naranjas' que narra en verso las pérdidas sucesivas del ladrón: la mitad más media al saltar valla, la mitad menos media perseguido por un perro, y la mitad más media al tropezar; le quedan 2 docenas (24). Se pide encontrar cuántas naranjas robó originalmente.

Ilustración decorativa sobre fondo rojo/rosado: tres jóvenes colaboran discutiendo un libro azul abierto que sostiene la estudiante del centro; pilas de libros a los lados. Marca visualmente el paso a un nuevo tema (Vectores).

Tema 4. Pregunta: 3 aplicaciones de vectores. Cuadro '¿Sabías qué?' con la fórmula del módulo $|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Ejercicio 1: graficar y calcular módulo de (a) $\vec{A}=[-7,1]$, (b) $\vec{B}=[3,-1]$, (c) $\vec{C}=[3,6]$, (d) $\vec{D}=[-2,7]$. Ejercicio 2: operaciones con $\vec{A}=[1,5], \vec{B}=[-2,3], \vec{C}=[3,-6]$: (a) $A+B$; (b) $-C$; (c) $2B-C$; (d) $A-3B+C$; (e) $-(A+B)+2C$.

Ejercicio 3: verificar ortogonalidad de (a) $(1,2)$ y $(-2,1)$, (b) $(3,0)$ y $(5,5)$, (c) $(1,-3)$ y $(-2,4)$, (d) $(2,-2)$ y $(-2,-2)$. Ejercicio 4: demostrar con vectores que los puntos medios de un cuadrado forman un cuadrado. Ejercicio 5: (a-d) ecuaciones paramétrica y vectorial de rectas dadas por puntos/pendientes. Ejercicio 6-7: lugares geométricos: (a) distancia al eje Y = distancia a $A(3,0)$; (b) suma de distancias a $A(0,-3)$ y $B(0,3)$ = 7 (elipse); (c) equidistante de $(-3,5)$ y $(0,-2)$; (d) cuadrado de distancia a $(6,1)$ = distancia al eje Y. Ejercicio 7 (verbal): paralelogramo MNSR, cuadrilátero ABCD y vectores paralelos. Ejercicio 8: operaciones gráficas con $A(4,-5), B(5,2), C(-2,3)$.

Operaciones vectoriales (a) $\vec{OA}+\vec{AB}$; (b) $-\vec{OC}-\vec{BC}$; (c) $3\vec{BA}-4\vec{CB}$. Ejercicio 9: módulo con $\vec{u}=[2,-1], \vec{v}=[-1,-1], \vec{w}=[1,-1]$: (a) $u+v$; (b) $u-3v-w$; (c) $u-2v+w/2$; (d) $w\cdot v$. Ejercicio 10: (a) tangente del ángulo entre $M=(3,1,-3)$ y $N=(-4,1,-2)$; (b) ecuaciones paramétricas de recta por $P(-1,2)$ y $P(5,1)$; (c) recta por $P(2,-4)$ paralela a $v=2i-3j$; (d) intersección de rectas $L_1$ y $L_2$. Ejercicio 11: cónicas - (a) circunferencia con centro $P(2,1)$ que pasa por $Q(-7,9)$; (b) elipse $0.25x^2+y^2=1$ semiejes/vértices/focos; (c) parábola con vértice $R(3,2)$ y foco $F(3,4)$; (d) hipérbola horizontal con semieje menor 4 y distancia focal 16.

Ejercicio 12: trapecio ABCD, M,N puntos medios de diagonales: (a) demostrar $\vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{DC}-\vec{AB})$; (b) $\vec{MN}\parallel\vec{AB}$; (c) $\vec{MN}\parallel\vec{DC}$. Ejercicio 13: en cuadrado MNPQ, expresar $\vec{X}$ en función de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Ejercicio 14: hallar $t$ dado $\vec{A}=(1-t, 1-2t)$ y $\vec{B}=(t-3, t-2)$ para que (a) $A\perp B$; (b) $\sqrt{3}|A|=|B|$; (c) $A\parallel B$. Ejercicio 15: (a) paralelogramo MNPQ con M(2,1), N(-1,0), P(2,-1); hallo Q; (b) circunferencia con diámetro AB; (c) excentricidad de órbita del satélite con distancias 1255 y 1542 km y radio Tierra 6371 km.

Lectura 'Juntos leemos' con el poema 'Oda al número cero' de Enrique Morón. El poema celebra al cero como redonda negación que contiene la nada, comparándolo con una luna llena. La página incluye una breve nota biográfica del autor: Enrique Morón (1942), poeta y dramaturgo español, catedrático universitario, autor de Poemas, Romancero alpujarreño y El alma gris.

Ilustración decorativa sobre fondo azul: estudiante sentado en escritorio con libros; a su lado un formulario tipo checklist con fórmulas flotantes $a^2+b^2=$, $(x,y,z)$, $a^2-b^2=$, gráficas y una lámpara. Anuncia el inicio del Tema 5 (Planos).

Tema 5. Pregunta: ¿cuántos planos paralelos y perpendiculares hay en un aula? Cuadro '¿Sabías qué?' explica: planos paralelos tienen normales paralelas; perpendiculares tienen producto escalar de normales igual a 0. Ejercicio 1: norma de (a) $\vec{u}=(2,1,-1)$, (b) $\vec{v}=(2,-1,-2)$, (c) $\vec{x}=(-1/2, 7/2, -3/2)$. Ejercicio 2: producto punto con $\vec{A}=(2,-1,4), \vec{B}=(-1,1,2), \vec{C}=(1,-1,1)$: (a) $A\cdot B$; (b) $C\cdot B$; (c) $B\cdot C$.

Ejercicio 3: comprobar paralelismo entre pares de planos: (a) $P_1: -3x+2y-7z+2=0$, $P_2: 6x+4y-21z+5=0$; (b) $P_1: 2x+4y-2z=1$, $P_2: -3x-6y+3z=10$; (c) $P_1: 4x-y+3z=1$, $P_2: 2x+2y-3z=5$. Ejercicio 4: (a) ecuación vectorial por $A(1,2,3), B(-1,0,1)$; (b) paramétricas de recta paralela a $P: 3x-y-4z+16=0$ y al plano $xy$ que pasa por $(2,0,3)$; (c) plano que contiene a la recta $L: \{2x-y-4z+7=0, 3x+2y+z=0\}$ perpendicular a $P_1: 2x+y-2z+1=0$; (d) intersección de $P^1: x+y+z+1=0$ y $P^2: x-y-z+2=0$. Ejercicio 5: dependencia lineal por Gauss.

Evaluación de la Sección 2. Ejercicio 1: primeros 5 términos de $a_1=5$, $a_{n+1}=-3a_n$. Ejercicio 2: tres números consecutivos en PA que sumen 49. Ejercicio 3: quinto término de PG con $a_1=2$, $a_9=13\,122$. Ejercicio 4: pendiente de tangente a $y=3x^2-1$ en $x=3$. Ejercicio 5: derivada de $g(x)=(x^2+3x+1)/(x^2-9x)$. Ejercicio 6: $\int_3^{11}\sqrt{2x+3}\,dx$.

Continuación de la evaluación. Ejercicio 7: caja sin tapa base cuadrada área 450 cm² con volumen máximo (repetido de p.44). Ejercicio 8: volumen del sólido de revolución al rotar $y=x^2$ entre $x=0$ y $x=2$ alrededor del eje $x$. Ejercicio 9: operaciones con $\vec{A}=[1,5], \vec{B}=[-2,3], \vec{C}=[3,-6]$: (a) $A-B$; (b) $2B-C$; (c) $A-5B-C$. Ejercicio 10: ecuación vectorial de la recta por $A(-2,-1)$ y $B(-2,1)$.

Apertura de la Sección 3. Objetivos O.M.5.2 (producir, comunicar y generalizar información) y O.M.5.6 (desarrollar curiosidad y creatividad). Temas: (1) Vectores, (2) Problemas analíticos, (3) Estadística descriptiva, (4) Medidas de tendencia central, (5) Medidas de dispersión. Criterios: CE.M.5.6 (vectores), CE.M.5.7 (espacio 3D), CE.M.5.9 (estadística), CE.M.5.10 (probabilidad), CE.M.5.11 (inferencia y distribución binomial).

Ilustración decorativa sobre fondo verde: tres jóvenes conversan en el suelo con libros, cuadernos, lápices y un globo terráqueo detrás. Símbolos ABC flotantes. Marca el inicio de la Sección 3.

Tema 1 de la Sección 3 (repaso). Ejercicio 1: norma de vectores (mismos que p.54). Ejercicio 2: producto punto (mismos que p.54). Ejercicio 3: paralelismo entre pares de planos (mismos que p.55). Ejercicio 4: ecuación vectorial, paramétricas, plano perpendicular e intersección de planos (mismos que p.55). Ejercicio 5: dependencia lineal por Gauss. Recuadro 'Dato curioso' sobre operaciones vectoriales: suma, resta, producto punto y producto cruz. Cierra con METACOGNICIÓN.

Tema 2. Ejercicio 1 (gráfico): (a) Familia López con 480 ha para trigo/maíz y 800 h de trabajo: utilidad \$40/ha maíz (2h/ha) vs \$30/ha trigo (1h/ha); (b) fábrica de relojes digitales/análogos con restricciones; (c) Vanessa con 80 m² algodón y 120 m² lana: trajes (1 alg + 3 lana) vs vestidos (2+2). Ejercicio 2 (analítico): (a) constructora en Riobamba, casas A (\$30 000, \$3 000 beneficio) y B (\$20 000, \$4 000), presupuesto \$1 800 000 y máximo 80 casas.

Ejercicio 2 (cont.): (b) Colegio con 1200 estudiantes, autobuses de 50 pasajeros (\$252) y microbuses de 30 (\$180), con 28 conductores. Costo máximo. Ejercicio 3: Manuel con negocio de maíz - método simplex con 4 productos (troceado, puré, seco, deshidratado frito), 75 h semanales, tiempo y kilos por producto, restricciones de almacén (17 kg producto, 130 kg saco) y ganancia por kg.

Lectura 'Juntos leemos' con el texto 'Dos choques' de Aline Guevara (2005). Explica cómo cuando dos autos van en la misma dirección las velocidades se restan al chocar, y cuando van en direcciones opuestas se suman. Introduce el concepto de que la velocidad de la luz (≈300 000 km/s) es siempre constante independientemente del referencial. Autora: Aline Guevara Villegas (1974), científica mexicana en comunicación de la ciencia.

Ilustración decorativa sobre fondo púrpura: estudiante con laptop y regla en escritorio, un reloj y una hoja titulada 'EXAMEN' con lista de opciones marcadas al fondo. Marca la transición a un nuevo tema (estadística o evaluación).

Tema 3. Ejercicio 1: para (a) edades de 20 niños Lago Agrio: 12,10,6,8,18,7,13,13,16,18,13,12,11,13,18,18,7,17,12,13; y (b) tabla agrupada de 80 personas por intervalos de edad [10-14) a [30-34) con frecuencias 5,10,20,25,15,5. Calcular media, moda, mediana, rango, varianza, desviación estándar y diagrama caja-bigotes. Ejercicio 2: promedios de resistencia de 10 estudiantes 10.2, 12.6, 11.2, 14.4, 10.8, 16.4, 13.6, 14.9, 12.5, 11.5: (a) tendencia central; (b) dispersión; (c) CV; (d) gráfico. Ejercicio 3: distribución de edades trabajadores por intervalos [22-27) a [42-47) con frecuencias 14,7,25,10,14.

Ejercicio 4: tabla de edades por intervalos [10-20) a [50-60) con frecuencias 2,7,5,8,12. (a) Trazar ojiva. (b) Calcular cuartiles. (c) Diagrama caja-bigote. (d) Calcular percentiles $P_{50}, P_{12}, P_{75}, P_{58}$. Cuadro '¿Sabías qué?' sobre efecto de valores extremos en la media. Cierra con METACOGNICIÓN.

Tema 4. Ejercicio 1: operaciones con factoriales y combinaciones: (a) $9!-2!$; (b) $9!/(7!+8!)$; (c) $\sqrt{10!\cdot 7!+8!\cdot 9!}$; (d) $C_8^8+C_1^{19}\cdot C_2^{11}$; (e) $E=(3C_3^7+C_4^7)/(4C_3^7)$. Ejercicio 2: (a) probabilidad de que un dado sea 2 dado que suma 8; (b) probabilidad condicional en encuesta de adolescentes (20% van a fiesta cada 15 días, 48% con permiso); (c) tabla contingencia estado civil x sexo.

Ejercicio 3: variable aleatoria X con valores 30,40,50,60 y probabilidades 0.4, 0.2, 0.1, 0.3. Calcular $P(X\leq 25), P(X\geq 60), P(X<40), P(X>40)$. Ejercicio 4: distribución binomial - dado 10 veces, contar 3s: (a) al menos 4 veces; (b) exactamente 4; (c) máximo 4. Ejercicio 5: cuantía de líneas telefónicas (1 a 7) con probabilidades dadas: (a) 2 líneas máx ocupadas; (b) al menos 4 en uso; (c) entre 2 y 5; (d) al menos 4 no en uso. Ejercicio 6: (a) clave 2 letras + 2 dígitos: número total; (b) 8 equipos todos contra todos: número partidos.

Ejercicio 6c: 5 parejas alrededor de fogata, matrimonios juntos. Ejercicio 7: variable X=motos vendidas $x:1,2,3,4$ con $f(x)=0.60, 0.25, 0.10, 0.05$: media, varianza, desviación típica, 3 conclusiones. Ejercicio 8: (a) probabilidad de vehículos defectuosos (p=0.05, ensayos independientes) - entre 5-9, ≤3, ≥4; (b) 5 celulares con garantía (p=0.2) - exactamente 2, ≥2; (c) 4 llantas con probabilidad de fallo 0.04 independientes.

Ejercicio 9: (a) números de 3 cifras <226 con dígitos 1,2,3,4 sin repetición. (b) Magdalena estudia 0, 1 o 2 h por noche: formas para 5 h en 3 noches; al menos 5 h. (c) Distribución normal $\mu=80$, $\sigma=14$: $P(75\leq X\leq 90)$, $P(X\leq 75)$, $P(55\leq X\leq 70)$. Ejercicio 10: (a) simular 60 valores Poisson $\lambda=3$; (b) simular 40 valores $N(14,4)$. Cuadro '¿Sabías qué?' sobre distribución normal.

Ilustración decorativa: un graduado con toga y birrete sostiene un diploma en una mano y un laptop en la otra, de pie sobre pilas de libros con un monitor mostrando otro diploma detrás. Simboliza el final del bachillerato.

Tema 5 (final de sección). Ejercicio 1: Lanzamiento de moneda 3 veces; $X$ = número de caras, $Y$ = diferencia absoluta caras-sellos. (a) Distribución conjunta; (b) media y $\sigma$ marginales; (c) covarianza y correlación. Ejercicio 2: (a) Calificaciones $x, y$ para 9 estudiantes: recta de regresión de $y$ en $x$; (b) Edad vs ausentismo de 10 trabajadores: ecuación por mínimos cuadrados.

Ejercicio 3: verificar Ley de Boyle-Mariotte $PV=$ cte a partir de tabla con presiones y volúmenes: P=0.1 → V=2.24; P=0.15 → V=0.15 (probable errata); P=0.2 → V=1.13; P=0.25 → V=0.92. Cuadro '¿Sabías qué?' recuerda que en regresión, Y=dependiente y X=independiente. Cierra con METACOGNICIÓN.

Evaluación de la Sección 3. Ejercicio 1: producto punto entre $\vec{A}=(-1,2,1), \vec{B}=(2,4,1), \vec{C}=(2,-1,1)$: (a) $A\cdot C$; (b) $B\cdot C$; (c) $A\cdot B$; (d) $B\cdot A$. Ejercicio 2: ecuación vectorial por $A(0,2,3), B(0,-1,1)$. Ejercicio 3: 360 personas al hotel, autobuses 60 (\$15/persona) y minibuses 30 (\$10/persona), 10 vehículos - costo mínimo. Ejercicio 4: tiempos de corredores (25,30,28,...,28) - tendencia central, dispersión, gráfico.

Continuación de la evaluación. Ejercicio 5: edades de personas 22,25,...,15 - medidas tendencia central. Ejercicio 6: distribución de edades por intervalos (10,12]...(18,20] con frecuencias 6,11,20,25,10: media, mediana, moda, varianza, %14-16, % <16, gráfico. Ejercicio 7: probabilidad de al menos 2 caras consecutivas en 3 lanzamientos. Ejercicio 8: probabilidad de suma 8 con dos dados.

Ejercicio 9: fábrica con 3 máquinas (A: 5% defectuosas; B: 8%; C: 3%). Calcular probabilidad de pieza defectuosa y $P(A|\text{defectuosa})$ por Bayes. Ejercicio 10: horas de estudio vs calificación (2,6.5), (3,7.0), (4,7.5), (5,8.0), (6,8.5), (7,9.0): (a) graficar; (b) pendiente e intersección; (c) ecuación por mínimos cuadrados.

Sección 'Desafíos del Bachillerato'. Primer curso: un carpintero necesita comprar madera para una mesa de 1.5 m², donde requiere 0.25 m² de madera por m² de mesa. Tiene \$50, y la madera cuesta \$10/m². ¿Cuántos m² de madera puede comprar? Incluye resolución paso a paso: necesita $1.5\times 0.25=0.375$ m² costando $\$3.75$. Actividad grupal y preguntas de metacognición.

Desafío del Segundo curso de Bachillerato. Un científico estudia bacterias que se duplican cada hora. Empieza con 10 y quiere saber cuántas habrá en 5 horas. Resolución: $f(x)=a\cdot 2^x$; con $a=10$: $f(5)=10\cdot 32=320$. **Nota:** el texto dice $f(5)=10^5=100000$, lo cual es un error (usa base 10 en lugar de $a\cdot 2^x=320$).

Desafío del Tercer curso. Empresa que necesita 200 unidades del producto A y 150 del producto B. Máquina 1: 40A y 30B por hora. Máquina 2: 20A y 20B por hora. Minimizar tiempo total. Restricciones: $40x+20y\geq 200$, $30x+20y\geq 150$, $x+y\geq 0$. Función objetivo: $f(x,y)=x+y$.

Continuación del desafío del tercer curso. Se afirma que la solución obtenida por software es $x=4, y=3$: 4 horas máquina 1 y 3 horas máquina 2 para minimizar el tiempo total de producción (Z=7). Actividad grupal para plantear PL propio y preguntas de metacognición.

Página en blanco cuadriculada titulada 'Notas' para apuntes del estudiante.

Página en blanco cuadriculada titulada 'Notas'.

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Contraportada institucional del libro Matemática 2 BGU. Fondo azul con la palabra 'ecuador' en tipografía manuscrita blanca en la parte superior y un trazo caligráfico que forma una montaña. Al centro-inferior aparece el escudo con la leyenda 'REPÚBLICA DEL ECUADOR'. Pie con redes sociales @MinisterioEducacionEcuador (Instagram/Facebook), @Educacion_Ec (X/TikTok) y la web www.educacion.gob.ec.