Matematica · 2ro BGU · 2024 — Página 39

Q: ¿Se pueden sumar todos los números reales?

Tema 1. Pregunta introductoria sobre si se pueden sumar todos los números reales. Cuadro '¿Sabías qué?' con fórmulas de sucesiones aritmética ($a_n=a_1+(n-1)d$) y geométrica ($a_n=a_1\cdot r^{n-1}$). Ejercicio 1: hallar los primeros 5 términos de sucesiones por recurrencia (a) $a_1=2$, $a_{n+1}=5+a_n$; (b) $a_1=6$, $a_{n+1}=-a/(a-n)$; (c) $a_1=5$, $a_{n+1}=-3a_n$. Ejercicio 2: problemas con progresiones aritméticas y geométricas. Ejercicio 3: problemas de interés compuesto y continuo.

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Tema 1: Sucesiones y Progresiones

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1a) $2,7,12,17,22$ ; 1c) $5,-15,45,-135,405$ . 2a) $a_{16}=30$ ; 2b) $12,13,14$ ; 2c) $S_{10}=206\,668$ ; 2d) $a_5=162$ . 3a) $33 516; 3b) \$ 7 670; 3c) $36 491.

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Solución — Página 39

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Ejercicio 1

a: $a_1=2$, $a_{n+1}=5+a_n$

Sucesión aritmética con $d=5$ : $2, 7, 12, 17, 22$ .

Ejercicio 1

c: $a_1=5$, $a_{n+1}=-3a_n$

Sucesión geométrica con $r=-3$ : $5, -15, 45, -135, 405$ .

Ejercicio 2

a: Progresión aritmética con $a_6=15$, $d=3/2$

$a_1=a_6-5d=15-15/2=15/2$ . $a_{16}=a_1+15d=15/2+45/2=60/2=30$ .

Ejercicio 2

b: tres consecutivos suman 39

Sean $x-d, x, x+d$ : $3x=39\Rightarrow x=13$ . Los tres números son $13-d, 13, 13+d$ (con $d$ libre). Por ejemplo $d=1$ : $12,13,14$ .

Ejercicio 2

c: PG $7, 21, 63, 189, \ldots$ con $r=3$, suma de 10 primeros

$S_{10}=7\cdot(3^{10}-1)/(3-1)=7\cdot 59048/2=7\cdot 29524=206\,668$ .

Ejercicio 2

d: PG con $a_1=2$, $a_9=13\,122$

$a_9=a_1\cdot r^8\Rightarrow 13122=2r^8\Rightarrow r^8=6561=3^8\Rightarrow r=3$ . $a_5=2\cdot 81=162$ .

Ejercicio 3

a: $28\,000$ al 6% durante 3 años con interés continuo

$A=P e^{rt}=28000\cdot e^{0.06\cdot 3}=28000\cdot e^{0.18}=28000\cdot 1.197=33\,516$ .

Ejercicio 3

b: ahorro anual 900 al 6.5% compuesto

Es anualidad ordinaria: $FV=900\cdot((1.065)^7-1)/0.065$ . $(1.065)^7\approx 1.5539$ ; $(1.5539-1)/0.065\approx 8.522$ ; $FV\approx 900\cdot 8.522=7\,670$ .

Ejercicio 3

c: capital $12\,675$ al 7.3% anual durante 15 años

$FV=12675\cdot(1.073)^{15}$ . $(1.073)^{15}\approx 2.879$ ; $FV\approx 12675\cdot 2.879\approx 36\,491$ .

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Tema 1: Sucesiones y Progresiones

Responda la siguiente pregunta: ¿Se pueden sumar todos los números reales? justifique su respuesta

Hallo los cinco primeros términos de las sucesiones definidas por recurrencia: a) a 2; An = 3 + An

a 6; dm= ¿L

c) Q= S; Ans = -3y

Resuelvo los siguientes problemas:

a) En una progresión aritmética, el sexto término es 15 y la diferencia es > Halla el término que se encuentra en el lugar 16.

b) Encuentra tres números consecutivos que se hallen en progresión aritmética, cuya suma sea 39.

c) Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica: 7; 21; 63; 189.

d) Halla el quinto término de una progresión geométrica si se sabe

que el primer término es 2 y el noveno es 13 122.

Resuelvo los siguientes problemas en mi cuaderno de trabajo:

a) Se depositan $28 000 al 6% durante 3 años. Determino el valor futuro del capital si el interés se acumula continuamente. (e%*=1,197)

b) Una persona decide ahorrar 900 dólares al inicio de año, en un banco. Si el banco le paga el 6,5% de interés anual compuesto, ¿cuál será el capital al cabo de 7 años?

c) Un comerciante empieza su negocio con $12 675, y ha visto crecer su capital en 7,3% cada año. ¿Cuál es su capital luego de 15 años?

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