Matematica · 2ro BGU · 2024 — Página 43

Q: ¿Cómo aplicar integrales en el mundo real?

Tema 2. Pregunta sobre utilidad práctica de las integrales. Cuadro '¿Sabías qué?' explica usos de la derivada. Ejercicio 1: pendiente de tangente a (a) $y=3x^3$ en $x=2$, (b) $y=3x^2-1$ en $x=3$, (c) $f(x)=8x^3-7x^2$ en $x=0$. Ejercicio 2: derivadas (a) $y=3x^4-2x^3+5x$, (b) $f(x)=(x^2+2x-3)(x^3-x)$, (c) $g(x)=(x^2+3x+1)/(x^2-9x)$. Ejercicio 3: integrales definidas (a) $\int_1^3 (x^2-6x+10)dx$, (b) $\int_3^{11}\sqrt{2x+3}\,dx$, (c) $\int_1^a \sqrt{(tx+1)^3}\,dx$. Ejercicio 4: segunda derivada e

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Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 2: Derivadas e Integrales

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1a) 36; 1b) 18; 1c) 0. 3a) $14/3$ ; 3b) $98/3$ . 4a) $f''=60x^4-180x^2$ ; integral $=\frac{2x^7}{7}-3x^5-x+C$ .

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Solución — Página 43

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Ejercicio 1

a: pendiente de $y=3x^3$ en $x=2$

$y'=9x^2$ ; $y'(2)=36$ .

Ejercicio 1

b: $y=3x^2-1$ en $x=3$

$y'=6x$ ; $y'(3)=18$ .

Ejercicio 1

c: $f(x)=8x^3-7x^2$ en $x=0$

$f'(x)=24x^2-14x$ ; $f'(0)=0$ .

Ejercicio 2

a: derivada de $y=3x^4-2x^3+5x$

$y'=12x^3-6x^2+5$ .

Ejercicio 2

b: $f(x)=(x^2+2x-3)(x^3-x)$

$f'(x)=(2x+2)(x^3-x)+(x^2+2x-3)(3x^2-1)=2(x+1)x(x-1)(x+1)+(x+3)(x-1)(3x^2-1)$ . Expandiendo o dejando así.

Ejercicio 2

c: $g(x)=(x^2+3x+1)/(x^2-9x)$

$g'(x)=\dfrac{(2x+3)(x^2-9x)-(x^2+3x+1)(2x-9)}{(x^2-9x)^2}$ .

Ejercicio 3

a: $\int_1^3 (x^2-6x+10)dx=[x^3/3-3x^2+10x]_1^3=(9-27+30)-(1/3-3+10)=12-22/3=14/3$.

Ejercicio 3

b: $\int_3^{11}\sqrt{2x+3}\,dx$

Sea $u=2x+3$ , $du=2dx$ . Cuando $x=3$ : $u=9$ ; $x=11$ : $u=25$ . $\int_9^{25}\sqrt{u}\cdot du/2=(1/2)\cdot[2u^{3/2}/3]_9^{25}=(1/3)[125-27]=98/3$ .

Ejercicio 4

a: $f(x)=2x^6-15x^4-1$

$f'=12x^5-60x^3$ ; $f''=60x^4-180x^2$ . $\int f\,dx=\frac{2x^7}{7}-3x^5-x+C$ .

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Tema 2: Derivadas e Integrales

Responde la siguiente pregunta: ¿Cómo se puede explicar la utilidad práctica

de las integrales en contextos del mundo real?

Proporciona ejemplos concretos de situaciones en las que las integrales desempeñan un papel crucial y describa cómo ayudan a resolver problemas en áreas como la física, la economía o la

ingeniería.