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Relación lineal con constante positiva: razón de cambio y ecuación

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Respuesta rápida

$m = 0.5 \, \text{km/min} = 30 \, \text{km/h}$ ; ecuación: $y = 0.5x$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 158

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

El departamento de ingeniería evalúa el desempeño de un vehículo registrando la distancia recorrida y el tiempo empleado. Determina la razón de cambio (velocidad) y una ecuación que describa el movimiento.

Parte 1.a

Razón de cambio (pendiente)

Se identifican dos puntos de la tabla: $A=(20,10)$ y $B=(40,20)$ , donde $x$ es el tiempo en minutos y $y$ la distancia en kilómetros.
Se aplica la fórmula de la pendiente:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Se sustituyen los valores:

$m=\frac{20-10}{40-20}=\frac{10}{20}$

Se simplifica la fracción:

$m=\frac{1}{2}=0.5$

Respuesta

$m = 0.5 \, \text{km/min}$ .

Parte 1.b

Interpretación de la velocidad

La razón de cambio indica que el vehículo recorre $0.5 \, \text{km}$ cada minuto.
Para expresarla en $\text{km/h}$ se invierten los valores usando la equivalencia $60 \, \text{min} = 1 \, \text{h}$ :

$\frac{30 \, \text{km}}{60 \, \text{min}} = 30 \, \text{km/h}$

Respuesta

la velocidad del vehículo es $30 \, \text{km/h}$ .

Parte 1.c

Ecuación que describe el movimiento

Como la recta pasa por el origen $(0,0)$ , la relación es de proporcionalidad directa de la forma $y = mx$ .
Se sustituye la pendiente calculada:

$y = 0.5x$

Paso final: verificación

Se comprueba con otro punto de la tabla, por ejemplo $x = 100$ :

$y = 0.5(100) = 50 \, \text{km}$

El resultado coincide con la tabla, por lo que la ecuación es correcta. Además, como la constante es positiva, la gráfica es una recta creciente y su pendiente es mayor que $0$ .

Respuesta

$y = 0.5x$ , donde $x$ es el tiempo en minutos e $y$ la distancia en kilómetros.

Contenido de la página

Ejemplo de relación lineal con constante positiva

El departamento de ingeniería evalúa el desempeño de un vehículo. Para ello, hace pruebas en una pista registrando la distancia recorrida y el tiempo que toma la unidad en realizar el recorrido. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Tiempo (min)	20	40	60	80	100	120	140
Distancia (km)	10	20	30	40	50	60	70

Determina tanto la razón de cambio en la velocidad de la unidad como una ecuación que describa el movimiento.

La razón de cambio es la constante de proporcionalidad o pendiente:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{20-10}{40-20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0.5$

Por tal motivo, se puede afirmar que el vehículo se desplaza a una velocidad de $0.5 \, \text{km/min}$ ; para una mejor interpretación, se invierten los valores:

$\frac{30 \, \text{km}}{60 \, \text{min}} = 30 \, \text{km/h}$

La ecuación lineal para la prueba de velocidad es:

$y = 0.5x$

Las relaciones de proporcionalidad siempre van a tener una constante de proporcionalidad. Si esta es positiva, la representación gráfica irá en aumento. Se puede afirmar que la pendiente o la razón de cambio de la recta que se forma al graficar todos los puntos en el plano cartesiano es mayor que $0$ .

Ejemplos resueltos

Con la tabla de tiempo (min) y distancia (km) del vehículo, determina la razón de cambio y la ecuación del movimiento.

Se toman los puntos $A=(20,10)$ y $B=(40,20)$ . Se calcula $m=\frac{20-10}{40-20}=\frac{10}{20}=0.5 \, \text{km/min}$ . Invirtiendo valores: $\frac{30\ \text{km}}{60\ \text{min}}=30\ \text{km/h}$ . La ecuación es $y=0.5x$ .

Tabla

Tiempo (min)	20	40	60	80	100	120	140
Distancia (km)	10	20	30	40	50	60	70

Diagrama

graph LR
  A[Tabla de datos] --> B[Razón de cambio m]
  B --> C[Pendiente positiva]
  C --> D[Recta creciente]
  B --> E[Ecuación y = 0.5x]

Fórmulas y ecuaciones

m= $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

y=mx

m= $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

m= $\frac{20-10}{40-20}$ = $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$ =0.5

$\frac{30\ \text{km}}{60\ \text{min}}$ =30\ $\text{km/h}$

y=0.5x

Glosario (4)

Razón de cambio: Cociente entre el cambio de la variable dependiente y el cambio de la variable independiente; equivale a la pendiente de la recta.
Constante de proporcionalidad: Valor constante que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales.
Pendiente: Inclinación de una recta respecto al eje horizontal; se calcula como $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Ecuación lineal: Expresión de la forma $y = mx + b$ cuya gráfica es una línea recta.

Preguntas para practicar

¿Por qué la gráfica de una relación de proporcionalidad con constante positiva es creciente?

Porque al aumentar el valor de $x$ también aumenta el valor de $y$ en la misma proporción. Esto hace que la pendiente sea mayor que cero y la recta suba de izquierda a derecha en el plano cartesiano.

Temas y conceptos clave

Relaciones linealesRazón de cambioProporcionalidad directapendienteconstante de proporcionalidadecuación linealvelocidadrecta creciente

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Figuras de la página (1)

Gráfica en el plano cartesiano que muestra los puntos A=(20,10), B=(40,20), C=(60,30), D=(80,40), E=(100,50), F=(120,60) y G=(140,70) unidos por una recta creciente que pasa por el origen. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la razón de cambio entre dos puntos de una tabla?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que la pendiente de una recta sea positiva?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se obtiene la ecuación de una relación de proporcionalidad directa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Interpretar tablas de datos
• Simplificar fracciones
• Sustituir valores en una fórmula

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Relación lineal con constante negativa y su representación gráfica

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Ejemplo de relación lineal con constante positiva:

El departamento de ingeniería evalúa el desempeno de un vehículo. Para ello, hace pruebas en una pista registrando la distancia recorrida y el tiempo que toma la unidad en realizar el recorrido. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Determina tanto la razón de cambio en la velocidad de la unidad como una ecuación que describa el movimiento.

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{20-10}{40-20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0.5$

Por tal motivo, se puede afi rmar que el vehículo se desplaza a una velocidad de 0.5 km/min; para una mejor interpretación, se invierten los valores:

$\frac{30\ km}{60\ min}=30\ km/h$

La ecuación lineal para la prueba de velocidad es:

$y=0.5x$

Las relaciones de proporcionalidad siempre van a tener una constante de proporcionalidad. Si ésta es positiva, la representación gráfica irá en aumento. Se puede afirmar que la pendiente o la razón de cambio de la recta que se forma al graficar todos los puntos en el plano cartesiano es mayor que 0.

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