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Situaciones con pendiente negativa: razón de cambio y ecuación lineal

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$m=-0.5\,\text{km/min}$ ; ecuación: $y=-0.5x$ .

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Solución — Página 159

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Análisis del ejemplo

El ingeniero automotriz registra la distancia recorrida por un vehículo que desacelera de $60\,\text{km/h}$ a $0\,\text{km/h}$ en $120\,\text{min}$ . La tabla de datos es:

Tiempo (min)	20	40	60	80	100	120	140
Distancia (km)	60	50	40	30	20	10	0

Ejercicio 1

Cálculo de la razón de cambio (pendiente)

Se toman dos puntos de la tabla, por ejemplo $A=(20,60)$ y $B=(40,50)$ :

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{50-60}{40-20}=\frac{-10}{20}=-0.5$

La pendiente es $m=-0.5\,\text{km/min}$ .

Ejercicio 2

Interpretación de la pendiente

Como la pendiente es negativa, la distancia disminuye $0.5\,\text{km}$ por cada minuto que transcurre. Esto equivale a una desaceleración de $-30\,\text{km/h}$ .

Ejercicio 3

Ecuación lineal del movimiento

La ecuación de la recta es de la forma $y=mx+b$ . Como la recta pasa por el origen $(0,0)$ , se tiene $b=0$ . Por lo tanto:

$y=-0.5x$

Donde $y$ es la distancia en km y $x$ el tiempo en minutos.

Concepto de función

Una función es una regla de correspondencia entre dos variables. En las relaciones lineales, los puntos forman una línea recta. Si la pendiente es positiva, la recta asciende; si es negativa, desciende.

Respuesta

La razón de cambio es $-0.5\,\text{km/min}$ y la ecuación que rige el movimiento es $y=-0.5x$ .

Contenido de la página

Situaciones con pendiente negativa

Existen relaciones lineales donde el valor de la pendiente es negativa y mientras una cantidad aumenta, la otra disminuye.

Ejemplo de relación lineal con constante negativa:

El ingeniero automotriz repite la prueba, pero en esta ocasión el vehículo va a desacelerar la velocidad de $60\,\text{km/h}$ a $0\,\text{km/h}$ en $2$ horas ( $120\,\text{min}$ ). Registra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido en una tabla y con ella desea determinar la razón de cambio de la velocidad y la ecuación que rige el movimiento.

Tiempo (min)	20	40	60	80	100	120	140
Distancia (km)	60	50	40	30	20	10	0

La razón de cambio es la constante de proporcionalidad o pendiente:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{50-60}{40-20}=\frac{-10}{20}=\frac{-1}{2}=-0.5$

Por tal motivo, se puede afirmar que el vehículo desacelera a $-0.5\,\text{km/min}$ , o bien $-30\,\text{km/h}$ .

La ecuación lineal para la prueba de velocidad es:

$y=-0.5x$

Las relaciones lineales con pendiente negativa tienen una constante de proporcionalidad negativa debido a que cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye porque el segundo término es menor que el primero. Al graficar los puntos se observa que la pendiente o la razón de cambio de la recta es menor que $0$ .

El término función es una regla de correspondencia entre dos variables (sus valores siempre cambian). En el caso específico de relaciones lineales con pendiente negativa y positiva, los puntos siempre van a formar una línea recta. La inclinación de ésta depende de la pendiente: si es positiva, se dirige hacia los números positivos en el eje vertical conforme incrementen los valores en el eje horizontal; si es negativa, se dirigen hacia los números negativos en el eje vertical conforme incrementen los valores en el eje horizontal.

Ejemplos resueltos

El ingeniero automotriz registra la distancia recorrida por un vehículo que desacelera de $60\,\text{km/h}$ a $0\,\text{km/h}$ en $120\,\text{min}$ . Determina la razón de cambio y la ecuación que rige el movimiento.

Se toman dos puntos de la tabla, por ejemplo $(20,60)$ y $(40,50)$ . La pendiente es $m=\frac{50-60}{40-20}=\frac{-10}{20}=-0.5$ . La ecuación es $y=-0.5x$ .

Tabla

Tiempo (min)	20	40	60	80	100	120	140
Distancia (km)	60	50	40	30	20	10	0

Diagrama

graph LR
  A[Tiempo] --> B[Distancia]
  B --> C[Pendiente negativa]
  C --> D[Ecuación y=-0.5x]

Fórmulas y ecuaciones

m= $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

y=mx+b

m= $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

m= $\frac{50-60}{40-20}$ = $\frac{-10}{20}$ =-0.5

y=-0.5x

Glosario (4)

Pendiente: Razón de cambio entre dos variables; indica la inclinación de una recta.
Razón de cambio: Cociente entre el cambio en la variable dependiente y el cambio en la variable independiente.
Función: Regla de correspondencia entre dos variables, donde a cada valor de una le corresponde un único valor de la otra.
Ecuación lineal: Expresión algebraica de la forma $y=mx+b$ que representa una recta.

Preguntas para practicar

¿Qué significa que la pendiente de una recta sea negativa?

Significa que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. La recta desciende de izquierda a derecha.

¿Cómo se relaciona la pendiente con la razón de cambio?

La pendiente es la razón de cambio constante entre dos variables lineales; indica cuánto cambia la variable dependiente por cada unidad que cambia la independiente.

Temas y conceptos clave

Pendiente negativaRazón de cambioEcuación linealFunción linealPendienteConstante de proporcionalidadRazón de cambioEcuación linealFunción

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Figuras de la página (1)

Gráfica de la recta con pendiente negativa que pasa por los puntos A(20,60), B(40,50), C(60,40), D(80,30), E(100,20), F(120,10) y G(140,0). — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta con dos puntos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que una pendiente sea negativa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta a partir de una tabla de datos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Interpretar tablas de datos
• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Calcular diferencias entre números enteros

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Situaciones con pendiente positiva

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Situaciones con pendiente negativa

Existen relaciones lineales donde el valor de la pendiente es negativa y mientras una cantidad aumenta, la otra disminuye.

Ejemplo de relación lineal con constante negativa:

El ingeniero automotriz repite la prueba, pero en esta ocasión el vehiculo va a desacelerar la velocidad de 60 km/h a 0 km/h en 2 horas (120 min). Registra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido en una tabla y con ella desea determinar la razón de cambio de la velocidad y la ecuación que rige el movimiento.

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{50-60}{40-20}=\frac{-10}{20}=\frac{-1}{2}=-0.5$

desacelera $a-0.5$ km/min, o bien $-30$ km/h.

La ecuación lineal para la prueba de velocidad es:

$y=-0.5x$

Las relaciones lineales con pendiente negativa tienen una constante de proporcionalidad negativa debido a que cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye porque el segundo término es menor que el primero. Al grafi car los puntos se observa que la pendiente o la razón de cambio de la recta es menor que 0.

福

El termino función es una regla de correspondencia entre dos variables (sus valores siempre cambian). En el caso especifico de relaciones lineales con pendiente negativa y positiva, los puntos siempre van a formar una linea recta. La inclinación de ésta depende de la pendiente: si es positiva, se dirige hacia los números positivos en el eje vertical conforme incrementen los valores en el eje horizontal; si es negativa, se dirigen hacia los números negativos en el eje vertical conforme incrementen los valores en el eje horizontal.

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