Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1 EGB

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Proporcionalidad inversa: tiempo de carga según número de trabajadores

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Respuesta rápida

4 trabajadores: 4 h; 8 trabajadores: 2 h; 16 trabajadores: 1 h. Constante $k=16$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 164

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 2. Proporcionalidad inversa

Considerando la información del ejemplo anterior, ¿cuánto tiempo tardarán en cargar el camión 4, 8 y 16 trabajadores?

Se identifica el tipo de variación: entre más trabajadores, menor tiempo; es proporcionalidad inversa.
La constante se obtiene multiplicando las cantidades: $a \cdot b = k$ .
Con los datos iniciales (2 trabajadores, 8 horas): $k = (2)(8) = 16$ .
Para 4 trabajadores: $(4)(b) = 16 \Rightarrow b = \frac{16}{4} = 4$ horas.
Para 8 trabajadores: $(8)(b) = 16 \Rightarrow b = \frac{16}{8} = 2$ horas.
Para 16 trabajadores: $(16)(b) = 16 \Rightarrow b = \frac{16}{16} = 1$ hora.

Respuesta: 4 trabajadores tardan 4 horas; 8 trabajadores, 2 horas; 16 trabajadores, 1 hora.

Paso 1. Completar la tabla

Se registran los valores obtenidos junto con los datos iniciales.
Se verifica que el producto $a \cdot b$ sea constante: $2 \times 8 = 4 \times 4 = 8 \times 2 = 16 \times 1 = 16$ .

Respuesta orientativa: La tabla queda: 2→8, 4→4, 8→2, 16→1. El producto constante es 16.

Contenido de la página

La magnitud es una propiedad que puede medirse (longitud, masa, tiempo y temperatura, por ejemplo), a la cual le corresponde una unidad (metros, kilogramos, segundos y grados centígrados, respectivamente).

Ejemplo 2. Proporcionalidad inversa

Considerando la información del ejemplo anterior, ¿cuánto tiempo tardarán en cargar el camión 4, 8 y 16 trabajadores?

Solución

Entre más trabajadores suban costales al camión, menor será el tiempo que tarden en llenarlo; la variación es de proporcionalidad inversa y la constante se obtiene al multiplicar las cantidades.

Si $a$ es el número de trabajadores y $b$ el tiempo en horas:

$ab = k$

$(2)(8) = 16$

Para 4 trabajadores:

$(4)(b) = 16$

$b = \frac{16}{4} = 4 \text{ horas}$

Se realiza el mismo procedimiento para 6, 8 y 16 trabajadores. Luego, se registran los valores en una tabla.

Número de trabajadores	2	4	8	16
Tiempo (horas)	8	4	2	1

Por lo tanto, el tiempo disminuye conforme aumenta el número de trabajadores.

Las fracciones se basan en la división de números, mientras que las razones en la comparación de cantidades. Una proporción es la comparación de dos o más razones y puede ser proporcional o no proporcional; si estas últimas corresponden a una proporcionalidad inversa, se relacionan mediante una constante de proporcionalidad. Entonces:

Son proporcionales si ambas cantidades aumentan en la misma proporción.
Son de proporcionalidad inversa si una cantidad disminuye en cierta proporción. Su valor constante corresponde a un producto.

Ejemplos resueltos

Considerando que 2 trabajadores tardan 8 horas en cargar el camión, ¿cuánto tiempo tardarán 4, 8 y 16 trabajadores?

Es proporcionalidad inversa. Constante: $k=(2)(8)=16$ . Para 4: $b=\frac{16}{4}=4$ h. Para 8: $b=\frac{16}{8}=2$ h. Para 16: $b=\frac{16}{16}=1$ h.

Tabla

Número de trabajadores	2	4	8	16
Tiempo (horas)	8	4	2	1

Diagrama

graph LR
  A[Magnitud] --> B[Se mide con]
  B --> C[Unidad]
  A --> D[Proporcionalidad]
  D --> E[Directa: cociente constante]
  D --> F[Inversa: producto constante]

Fórmulas y ecuaciones

a $\cdot$ b = k

b = $\frac{k}{a}$

ab = k

(2)(8) = 16

(4)(b) = 16

b = $\frac{16}{4}$ = 4 $\text{ horas}$

Glosario (6)

Magnitud: Propiedad que puede medirse, como longitud, masa, tiempo o temperatura.
Unidad: Cantidad patrón que se usa para medir una magnitud (metro, kilogramo, segundo, grado centígrado).
Proporcionalidad inversa: Relación en la que al aumentar una cantidad, la otra disminuye en la misma proporción; su producto es constante.
Constante de proporcionalidad: Valor que se mantiene fijo en una relación proporcional; en la inversa se obtiene multiplicando las cantidades.
Razón: Comparación entre dos cantidades mediante una división.
Proporción: Comparación de dos o más razones.

Preguntas para practicar

¿Por qué el tiempo disminuye al aumentar el número de trabajadores?

Porque el trabajo total por realizar es el mismo y se reparte entre más personas. Al ser una proporcionalidad inversa, el producto entre número de trabajadores y tiempo permanece constante. Así, duplicar los trabajadores reduce el tiempo a la mitad.

Temas y conceptos clave

Magnitud y unidadProporcionalidad inversaConstante de proporcionalidadmagnitudunidadproporcionalidad inversaconstante de proporcionalidadrazónproporción

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división de números naturales
• Concepto de razón y proporción
• Proporcionalidad directa

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Problemas de proporcionalidad inversa con gráficas y otras magnitudes

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Ejemplo 2. Proporcionalidad inversa

Considerando la información del ejemplo anterior, jcuánto tiempo tardarán en cargar el camión 4, 8 y 16 trabajadores?

Solución

Entre más trabajadores suban costales al camión, menor será el tiempo que tarden en llenarlo; la variación es de proporcionalidad inversa y la constante se obtiene al multiplicar las cantidades.

Si a es el número de trabajadores y b el tiempo en horas:

$ab=k$

$(2)(8)=16$

Para 4 trabajadores:

$(4)(b)=16$

$b=\frac{16}{4}=4\;horas$

Se realiza el mismo procedimiento para 6, 8 y 16 trabajadores. Luego, se registran los valores en una tabla.

Por lo tanto, el tiempo disminuye conforme aumenta el número de trabajadores.

• Son proporcionales si ambas cantidades aumentan en la misma proporción.

Son de proporcionalidad inversa si una cantidad disminuye en cierta proporción. Su valor constante corresponde a un producto.

求

163