Variación no proporcional en el plano cartesiano: proporcionalidad inversa
Respuesta rápida
La relación es de proporcionalidad inversa (x \cdot y = 16). Los puntos A(2,8), B(4,4), C(8,2) y D(16,1) forman una hipérbola, no una recta.
Solución — Página 169
Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 3. Variación no proporcional en el plano cartesiano
Graficar en el plano cartesiano los datos obtenidos de la relación entre el número de trabajadores y el tiempo en horas.
- Se identifican las variables: número de trabajadores (x) y tiempo en horas (y).
- Se organizan los datos en una tabla:
| Número de trabajadores (x) | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Tiempo en horas (y) | 8 | 4 | 2 | 1 |
- Se verifica el tipo de relación: al multiplicar cada par de valores, x \cdot y = 16 en todos los casos (2 \times 8 = 16, 4 \times 4 = 16, 8 \times 2 = 16, 16 \times 1 = 16). Como el producto es constante, la relación es de proporcionalidad inversa.
- Se ubican los puntos en el plano cartesiano: A(2, 8), B(4, 4), C(8, 2) y D(16, 1).
- Se traza la curva que une los puntos. Al ser una proporcionalidad inversa, los puntos no forman una recta, sino una curva llamada hipérbola.
Respuesta: La gráfica es una hipérbola decreciente que pasa por los puntos A(2, 8), B(4, 4), C(8, 2) y D(16, 1).
Gráfica de una relación proporcional
La gráfica de una relación proporcional siempre va en aumento, tanto en el eje x como en el y. En el ejemplo de los sacos de masa, los puntos A(1, 50), B(2, 100), C(3, 150), D(4, 200) y E(5, 250) forman una línea recta que pasa por el origen, lo que indica que la razón \frac{y}{x} = 50 es constante.
Contenido de la página
La gráfica de una relación proporcional siempre va en aumento, tanto en el eje x como en el y.
Ejemplo 3. Variación no proporcional en el plano cartesiano
Graficar en el plano cartesiano los datos obtenidos de la relación entre el número de trabajadores y el tiempo en horas.
Solución
Los valores correspondientes al número de trabajadores estarán en el eje x, mientras que el tiempo, en el eje y.
| Número de trabajadores | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Tiempo (horas) | 8 | 4 | 2 | 1 |
Esta relación es de proporcionalidad inversa, por lo cual los puntos no forman una recta, sino una curva que se llama hipérbola.
En la gráfica se observan los puntos A(2, 8), B(4, 4), C(8, 2) y D(16, 1) unidos por una curva decreciente.
Ejemplos resueltos
Graficar en el plano cartesiano los datos obtenidos de la relación entre el número de trabajadores y el tiempo en horas.
Se identifican las variables: número de trabajadores (x) y tiempo (y). Se organizan los datos en la tabla:
| x | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| y | 8 | 4 | 2 | 1 |
Se verifica que x \cdot y = 16 en todos los casos, por lo que es una proporcionalidad inversa. Se ubican los puntos A(2,8), B(4,4), C(8,2) y D(16,1) y se traza la curva llamada hipérbola.
Tabla
| Número de trabajadores | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Tiempo (horas) | 8 | 4 | 2 | 1 |
Diagrama
graph LR
A[Relación proporcional] --> B[Gráfica: recta creciente]
C[Relación no proporcional] --> D[Gráfica: hipérbola]
D --> E[Proporcionalidad inversa]
E --> F[x · y = k]
Fórmulas y ecuaciones
x \cdot y = k
y = \frac{k}{x}
x \cdot y = 16
y = \frac{16}{x}
Glosario (3)
- Proporcionalidad inversa
- Relación entre dos magnitudes donde al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción, de modo que su producto es constante.
- Hipérbola
- Curva plana que resulta de representar gráficamente una relación de proporcionalidad inversa.
- Plano cartesiano
- Sistema de ejes perpendiculares (x e y) que permite ubicar puntos mediante coordenadas.
Preguntas para practicar
¿Por qué la gráfica de una relación de proporcionalidad inversa no es una recta?
Porque al aumentar una magnitud, la otra disminuye de forma que su producto se mantiene constante. Esto genera una curva decreciente llamada hipérbola, no una línea recta.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se grafica una relación de proporcionalidad inversa?
¿Qué diferencia hay entre una relación proporcional y una no proporcional?
¿Por qué la gráfica de una proporcionalidad inversa es una hipérbola?
- • Ubicación de puntos en el plano cartesiano
- • Concepto de proporcionalidad directa
- • Manejo de tablas de datos
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 819 caracteres
Graficar en el plano cartesiano los datos obtenidos de la relación entre el número de trabajadores y el tiempo en horas.
Solución
Los valores correspondientes al número de trabajadores estarán en el eje x, mientras que el tiempo, en el eje y.
Esta relación es de proporcionalidad inversa, por lo cual los puntos no forman una recta, sino una curva que se llama bipérbola.
168
La gráfica de una relación proporcional siempre va en aumento, tanto en el eje x como en el y.
Ejemplo 3. Variación no proporcional en el plano cartesiano
| 1 | 2 | 4 | 8 | Tiempo (horas) |
| 16 | 8 | 4 | 2 | Numero de trabajadores |
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