Problemáticas: patrones geométricos para cubrir superficies sin huecos

Elijan una de las dos problemáticas y úsenla como argumento para aceptar o rechazar la hipótesis propuesta.

Respuesta orientativa (Problemática 1 — Dibujar un patrón geométrico en un papel grande):

1. Se extiende el papel (cartulina, medio pliego de papel ilustración, etc.) sobre el escritorio.
2. Con el juego de geometría se eligen figuras que teselen: por ejemplo, cuadrados, triángulos equiláteros o hexágonos regulares, que son figuras que encajan sin dejar huecos.
3. Se traza la primera fila de figuras a lo largo de un borde, asegurándose de que compartan lados: dos triángulos equiláteros unidos por un mismo lado forman un rombo, y tres cuadrados comparten vértices sin sobreponerse.
4. Se continúa fila por fila hasta cubrir toda la superficie del papel, verificando que no quede ningún espacio entre las figuras y que ninguna figura se superponga con otra.
5. Se observa el resultado: si toda la superficie quedó cubierta sin huecos ni sobreposiciones, la hipótesis (que es posible cubrir por completo una superficie con un patrón geométrico regular) se acepta.

Respuesta orientativa (Problemática 2 — Reparar superficies deterioradas de la escuela):

1. Se toman medidas de la superficie a rehabilitar (por ejemplo, un muro de 4 \, \text{m} de ancho por 2 \, \text{m} de alto) y se esquematiza en el cuaderno.
2. Se dibuja a escala un boceto del patrón; si la escala es 1:50, entonces 4 \, \text{m} se representan como 8 \, \text{cm} y 2 \, \text{m} como 4 \, \text{cm}.
3. Se trazan las figuras a tamaño real en la superficie con la cinta de enmascarar para guiar las rectas y se pintan con rodillo y brocha.
4. Se verifica que el patrón cubra toda la superficie sin dejar espacios ni sobreponer figuras; de cumplirse, la hipótesis se acepta; si quedan huecos o se solapan las figuras, se rechaza y se ajusta el patrón (Estrategia 3: añadir otra figura que rellene el espacio manteniendo la regularidad).

Apliquen las cuatro estrategias del proyecto.

Estrategia 1: Usen las figuras observadas en "Iniciemos y observemos".

Se recuperan las figuras ya vistas (triángulos, cuadrados, hexágonos) y se verifican sus condiciones de teselación individual.

Estrategia 2: Al realizar el patrón, no dejen espacio entre las figuras.

Se comprueba que cada par de figuras contiguas compartan exactamente un lado completo (lados coincidentes), de modo que la suma de los ángulos que concurren en cada vértice sea 360^{\circ}; por ejemplo, 6 hexágonos de 120^{\circ}: 6 \times 120^{\circ} = 720^{\circ} no sirve, en cambio 3 hexágonos: 3 \times 120^{\circ} = 360^{\circ} sí tesela.

Estrategia 3: Si quedan espacios, analicen si otra figura puede rellenarlos sin perder regularidad.

Si se usan cuadrados (90^{\circ}) y sobran huecos, se comprueba que en el vértice entren figuras cuyos ángulos sumen 360^{\circ}: 4 cuadrados (4 \times 90^{\circ} = 360^{\circ}), o 2 cuadrados + 4 triángulos (2 \times 90^{\circ} + 4 \times 60^{\circ} = 180^{\circ} + 240^{\circ} = 420^{\circ} no sirve), o 1 cuadrado + 2 triángulos + ... . Se elige la figura que complete 360^{\circ} en cada vértice.

Estrategia 4: Pueden usarse figuras no regulares si no dejan espacios ni se sobreponen.

Figuras como el triángulo escaleno, el rectángulo o el rombo no son regulares, pero al ser cuadriláteros convencionales teselan por translación: en un vértice concurren 4 ángulos que son los 4 de la figura, cuya suma es 360^{\circ}, por lo que cubren el plano sin huecos.