Indaguen sobre: a) significado de "a escala" y cómo trazar un polígono a escala; b) construcción de cuadrado, rectángulo, triángulo, pentágono y hexágono con regla, escuadras y compás; c) qué es un teselado.

A_escala: E=dibujo/real; teselado: ángulos vértice=360^

Elabora en tu cuaderno un manual o instructivo en el que describas paso a paso cómo se traza cada elemento investigado.

Manual de 5 secciones: escala, ángulos interiores, trazado, teselado y patrón propio

¿Qué es un teselado? ¿Qué polígonos regulares logran teselar el plano?

Triángulo, cuadrado y hexágono regulares

Libro de Nuestro Libro de Proyectos 2 EGB

SEP/CONALITEG

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Busca y encuentra: patrones geométricos, polígonos a escala y teselados

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Respuesta rápida

E1: hexágonos de 120° a escala 1:50. 2a: escala = proporción constante; se conservan ángulos. 2b: trazados con regla, escuadra y compás. 2c: teselado = cobertura sin huecos con suma de ángulos 360°. 3: manual de 5 secciones.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 130

Colección Sk´asolil. Nuestro libro de proyectos. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Tracen un patrón geométrico para cubrir el plano, considerando la forma de la superficie (rectangular, cuadrangular, regular o irregular) y la medida de los ángulos interiores de los polígonos usados.

Elige la superficie a cubrir, por ejemplo una barda rectangular de $6 \, \text{m} imes 3 \, \text{m}$ .
Selecciona el polígono del patrón: para que los polígonos regulares teselen sin huecos, la suma de los ángulos que concurren en cada vértice debe ser $360^\circ$ .
Verifica con un hexágono regular: su ángulo interior es $A = \frac{(n-2)\times 180^\circ}{n} = \frac{(6-2)\times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$ .
Comprueba la condición de teselado: $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ ✔ (tres hexágonos se juntan en cada vértice).
Determina la escala: si usas $1:50$ , entonces $6 \, \text{m} = 600 \, \text{cm}$ se dibujan como $600/50 = 12 \, \text{cm}$ y $3 \, \text{m} = 300 \, \text{cm} o 300/50 = 6 \, \text{cm}$ .
Dibuja en el cuaderno el rectángulo de $12 \, \text{cm} imes 6 \, \text{cm}$ y acomoda dentro el patrón de hexágonos de lado $1 \, \text{cm}$ (medida real $50 \, \text{cm}$ ).

Respuesta

Patrón de hexágonos regulares de ángulo interior $120^\circ$ dibujado a escala $1:50$ en un rectángulo de $12 \, \text{cm} imes 6 \, \text{cm}$ , que representa la barda de $6 \, \text{m} imes 3 \, \text{m}$ .

Ejercicio 2

Indaguen sobre los siguientes temas.

Parte 2.a

Relaciones entre ángulos, lados y diagonales para construir a escala polígonos regulares e irregulares.

¿Qué significa "a escala"?

Significa representar un objeto real más grande o más pequeño conservando las proporciones entre todas sus medidas.
Se define por la razón $E = \frac{\text{medida en el dibujo}}{\text{medida real}}$ .
Si $E = \frac{1}{100}$ , un lado real de $200 \, \text{cm}$ se dibuja como $200 \times \frac{1}{100} = 2 \, \text{cm}$ .

¿Cómo se traza un polígono a escala?

Mide el polígono real: lado $L$ , ángulo interior $A$ .
Calcula el lado dibujado: $l = L \times E$ , con $E$ la escala.
Conserva los ángulos: $A_{dibujo} = A_{real}$ (los ángulos no cambian con la escala).
Para un polígono regular de $n$ lados usa $A = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ; ej. pentágono: $A = \frac{3\times 180^\circ}{5} = 108^\circ$ .
Traza con regla y transportador los $n$ lados de longitud $l$ con ángulo $A$ entre ellos, hasta cerrar la figura.

Respuesta: Se calcula el lado dibujado $l = L \times E$ , se conservan los ángulos del polígono original y se trazan los lados consecutivos con regla y transportador.

Respuesta

"A escala" es dibujar reduciendo o ampliando todas las medidas en la misma razón, de modo que los ángulos se conservan iguales y los lados proporcionales.

Parte 2.b

Construcción de polígonos regulares con regla, escuadras y compás.

¿Cómo trazar cada figura?

Cuadrado: traza un segmento $AB$ , levanta una perpendicular en $A$ con la escuadra, mide $AB$ con el compás y marca $AD = AB$ ; repite en $B$ y $D$ , y une $C$ .
Rectángulo: traza $AB$ , levanta perpendiculares en $A$ y $B$ , mide $AD = BC$ con el compás (distinta de $AB$ ) y une $D$ con $C$ .
Triángulo (equilátero): con centro en $A$ y radio $AB$ traza un arco; con centro en $B$ y el mismo radio traza otro arco; su intersección es $C$ ; une $AC$ y $BC$ . Todos los lados valen $AB$ y los ángulos son $60^\circ$ .
Pentágono: traza el círculo de radio $r$ ; divide el círculo en 5 partes con el compás usando la cuerda correspondiente (o construye la sección áurea); marca los 5 vértices y únelos. Ángulo interior $= \frac{3\times180^\circ}{5} = 108^\circ$ .
Hexágono: con centro $O$ y radio $r$ traza un círculo; sin cambiar la abertura del compás marca sobre la circunferencia 6 puntos consecutivos (el lado del hexágono iguala al radio); únelos. Ángulo interior $= 120^\circ$ .

Respuesta

Con regla, escuadras y compás se trazan cuadrado, rectángulo, triángulo equilátero, pentágono y hexágono, usando perpendiculares, arcos de radio igual al lado y divisiones iguales de la circunferencia.

Parte 2.c

Relaciones entre polígonos para teselar el plano.

¿Qué es un teselado?

Es la cobertura de una superficie con polígonos (teselas) que la llenan sin huecos ni solapamientos.
La condición en los vértices es que la suma de los ángulos coincidentes sea exactamente $360^\circ$ .
Comprobaciones: triángulo equilátero $60^\circ$ : $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ ✔; cuadrado $90^\circ$ : $4 \times 90^\circ = 360^\circ$ ✔; hexágono $120^\circ$ : $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ ✔.
El pentágono regular ( $108^\circ$ ) no tesela: $360^\circ / 108^\circ \approx 3.33$ , no es entero.

Respuesta

Un teselado (o teselado del plano) es una cobertura sin huecos ni traslapes con polígonos cuyos ángulos suman $360^\circ$ en cada vértice; los polígonos regulares que lo logran son el triángulo, el cuadrado y el hexágono.

Ejercicio 3

Elabora en tu cuaderno un manual o instructivo con el paso a paso de cómo se traza cada elemento investigado.

Portada del manual: título "Cómo trazar polígonos y patrones a escala".
Sección 1 – Escala: define $E = \frac{\text{dibujo}}{\text{real}}$ ; da un ejemplo numérico con escala $1:100$ .
Sección 2 – Ángulos: incluye la fórmula $A = \frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$ con una tabla de $n = 3,4,5,6,\ldots$
Sección 3 – Trazado: describe el paso a paso de cada polígono (cuadrado, rectángulo, triángulo, pentágono, hexágono) con dibujo de cada figura.
Sección 4 – Teselado: explica la condición de $360^\circ$ y muestra tres ejemplos de patrones que sí teselan y uno que no.
Sección 5 – Patrón propio: presenta el patrón del ejercicio 1 dibujado a escala y explica por qué cubre el plano sin huecos.

Respuesta

Un manual de 5 secciones que explica escala, fórmula de ángulos interiores, trazado con regla y compás, condición de teselado y el patrón propio a escala.

Contenido de la página

Busca y encuentra

Al realizar su investigación es importante que consideren la medida de los ángulos interiores de un polígono regular y de uno irregular, eso será clave en la construcción del proyecto.

Tracen un patrón geométrico para cubrir el plano. Tendrán que conocer la forma de la superficie que desean cubrir (puede ser rectangular, cuadrangular, de otra forma, regular o irregular). Sean creativos. Por ejemplo, pueden hacer a escala el diseño de alguna de las bardas o los pisos de la escuela o el salón que se vean deteriorados.

Para trazar un patrón geométrico suelen utilizarse polígonos regulares, irregulares, la combinación de ambos u otro diseño, como formas de animales.

Indaguen sobre los siguientes temas:

a) Relaciones entre ángulos, lados y diagonales para construir a escala polígonos regulares e irregulares.

¿Qué significa "a escala"?
¿Cómo se traza un polígono a escala?

b) Construcción de polígonos regulares con regla, escuadras y compás.

¿Con estas herramientas, cómo trazar un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono y un hexágono?

c) Relaciones entre polígonos para teselar el plano.

¿Qué es un teselado?

Pueden investigar en las siguientes fuentes informativas:

Libro Colección Sk'asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado.
Biblioteca de Aula, Biblioteca Escolar, biblioteca pública, y diversas fuentes a su alcance.
Libros, revistas o fuentes digitales confiables de divulgación científica.
Preguntar a personas en su comunidad que se dediquen a hacer mosaicos o, en general, que les puedan enseñar algo acerca del tema.

De manera individual, pero sin olvidar que eres parte de una comunidad, elabora en tu cuaderno un manual o instructivo en el que describas paso a paso cómo se traza cada elemento investigado.

Ejemplos resueltos

Calcula el ángulo interior de un hexágono regular y comprueba si tesela el plano.

Sustituye n = 6 en A = $\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}$ : A = $\frac{(6-2)\times180^\circ}{6}$ = $\frac{720^\circ}{6}$ = $120^\circ$ .
Verifica el vértice: 3 $\times$ $120^\circ$ = $360^\circ$ .
Como la suma es exactamente $360^\circ$ , tres hexágonos teselan el plano.

Un piso mide 4 m × 2 m. ¿Qué escala usarías para dibujarlo en una hoja de 20 cm?

Convertir: 4 m = 400 cm, 2 m = 200 cm.
Escala 1:20: 400/20 = 20 cm y 200/20 = 10 cm.
Dibuja un rectángulo de 20 cm × 10 cm, que cabe en la hoja.

¿Por qué el pentágono regular no tesela?

A = $\frac{(5-2)\times180^\circ}{5}$ = $\frac{540^\circ}{5}$ = $108^\circ$ .
$360^\circ/108^\circ$ ≈ 3.33, no es un número entero.
Por tanto, no se pueden juntar pentágonos regulares alrededor de un vértice sin huecos ni traslapes.

Tabla

Polígono regular	n	Ángulo interior	Tesela
Triángulo	3	60°	Sí (6 por vértice)
Cuadrado	4	90°	Sí (4 por vértice)
Pentágono	5	108°	No
Hexágono	6	120°	Sí (3 por vértice)
Octógono	8	135°	No

Diagramas (2)

mindmap
  root((Teselado))
    Condición vértice = 360°
      Triángulo equilátero 6 × 60°
      Cuadrado 4 × 90°
      Hexágono 3 × 120°
    No tesela
      Pentágono 108°

mindmap
  root((Polígonos a escala))
    Escala E = dibujo/real
    Conserva ángulos
    Escala lados l = L × E
    Construcción con regla y compás

Fórmulas y ecuaciones

Ángulo interior de un polígono regular de n lados: A = $\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}$

Condición de teselado: la suma de los ángulos que concurren en cada vértice es $360^\circ$

Escala: E = $\frac{\text{medida en el dibujo}}{\text{medida real}}$

A = $\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}$

$\sum$ $\text{ángulos en un vértice}$ = $360^\circ$

E = $\frac{\text{medida en el dibujo}}{\text{medida real}}$

l = L $\times$ E

Glosario (7)

Escala: Razón entre la medida dibujada y la medida real que permite representar un objeto reduciéndolo o ampliándolo conservando proporciones.
Teselado: Cobertura de una superficie con polígonos que la llenan sin huecos ni solapamientos; en cada vértice los ángulos suman 360°.
Ángulo interior: Ángulo formado por dos lados consecutivos de un polígono; en uno regular de n lados vale ((n−2)·180°)/n.
Patrón geométrico: Disposición repetitiva de figuras geométricas que cubre una superficie de manera ordenada.
Polígono regular: Polígono con todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.
Polígono irregular: Polígono que no tiene todos sus lados ni todos sus ángulos iguales.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Preguntas para practicar

¿Qué significa "a escala"?

Significa representar un objeto real reduciéndolo o ampliándolo manteniendo la proporción de todas sus medidas mediante una razón E = medida en el dibujo / medida real; los ángulos se conservan iguales.

¿Cómo se traza un polígono a escala?

Se calcula el lado dibujado como l = L × E, se conservan los ángulos del polígono original (A = ((n−2)·180°)/n) y se trazan los lados consecutivos con regla y transportador hasta cerrar la figura.

¿Qué es un teselado?

Es la cobertura de una superficie con polígonos que la llenan sin huecos ni solapamientos; se cumple que en cada vértice la suma de los ángulos que concurren es exactamente 360°; los polígonos regulares que lo logran son el triángulo, el cuadrado y el hexágono.

Temas y conceptos clave

Patrones geométricos que cubren el planoConstrucción a escala de polígonosTrazado de polígonos con regla y compásTeselado del planoescalaángulo interior de un polígono regularteseladopatrón geométricoregular e irregular

Fuentes y referencias

Libro Colección Sk'asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado.
Biblioteca de Aula, Biblioteca Escolar y biblioteca pública
Libros, revistas y fuentes digitales confiables de divulgación científica
Personas de la comunidad que hacen mosaicos

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué significa trazar un polígono a escala?

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¿Qué polígonos regulares teselan el plano?

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¿Cómo se calcula el ángulo interior de un polígono regular?

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📌 Antes de leer esto

• Suma de ángulos interiores de un polígono
• Ángulos y rectas perpendiculares
• Uso de regla, escuadra y compás
• Noción de proporción y razón

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Al realizar su investigación es importante que consideren la medida de los ángulos interiores de un polígono regular y de uno irregular, eso será clave en la construcción del proyecto.

Tracen un patrón geométrico para cubrir el plano. Tendrán que conocer la forma de la superficie que desean cubrir (puede ser rectangular, cuadrangular, de otra forma, regular o irregular).Sean creativos. Por ejemplo, pueden hacer a escala el diseno de alguna de las bardas o los pisos de la escuela o el salón que se vean deteriorados.

Para trazar un patrón geométrico suelen utilizarse polígonos regulares, irregulares, la combinación de ambos u otro diseno,como formas de animales.

2. Indaguen sobre los siguientes temas:

a) Relaciones entre ángulos, lados y diagonales para construir a escala polígonos regulares e irregulares.

Qué significa "a escala"?

Cómo se traza un poligono a escala?

b) Construcción de polígonos regulares con regla, escuadras y compás.Con estas herramientas, jcómo trazar un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono y un hexágono?

c) Relaciones entre poligonos para teselar el plano.Qué es un teselado?

Pueden investigar en las siguientes fuentes informativas:

Libro Colección Sk'asolil. Saberes y pensamiento cientifico. Segundo grado.

Biblioteca de Aula, Biblioteca Escolar, biblioteca pública, y diversas fuentes a su alcance.

Libros, revistas o fuentes digitales confiables de divulgación cientifica.

Preguntar a personas en su comunidad que se dediquen a hacer mosaicos o, en general, que les puedan enseńar algo acerca del tema.

De manera individual, pero sin olvidar que eres parte de una comunidad, elabora en tu cuaderno un manual o instructivo en el que describas paso a paso cómo se traza cada elemento investigado.

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