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Uso de la expresión ax² + bx + c para representar áreas de figuras geométricas

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Respuesta rápida

El área de un cuadrado de lado $x$ es $x^{2}$ ; si el lado es $2x$ , el área es $4x^{2}$ , cuatro veces mayor. La expresión general es $ax^{2}+bx+c$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 20

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del contenido

La página introduce el uso de expresiones algebraicas de segundo grado, específicamente de la forma $ax^{2}+bx+c$ , para representar áreas de figuras geométricas como cuadrados y rectángulos.

Idea principal

Para calcular el área de un cuadrado o rectángulo se multiplica la base por la altura. Cuando no se conocen las medidas de los lados, se usa una literal (por ejemplo, $x$ ) para representar el lado más corto, y se expresa el otro lado en función de esa literal. El producto resulta en una expresión algebraica de segundo grado.

Tabla de representación

Cuadrado	Área (A)
Lado $x$	$A = x \cdot x = x^{2}$
Lado $2x$	$A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$

Observaciones

Si el lado de un cuadrado mide $x$ , su área es $x^{2}$ .
Si el lado mide el doble ( $2x$ ), el área se cuadruplica: $4x^{2}$ .
El cuadrado verde (lado $x$ ) cabe cuatro veces en el cuadrado azul (lado $2x$ ), lo que confirma que el área del azul es cuatro veces la del verde.

Relación con la expresión general

La expresión $ax^{2}+bx+c$ generaliza estos casos. Por ejemplo, para un rectángulo de base $x+3$ y altura $x+2$ , el área sería:

$A = (x+3)(x+2) = x^{2} + 5x + 6$

Aquí $a=1$ , $b=5$ , $c=6$ .

Respuesta orientativa: La página enseña a modelar áreas con expresiones cuadráticas, usando literales para lados desconocidos y mostrando que el área de un cuadrado de lado $2x$ es $4x^{2}$ , cuatro veces el área de un cuadrado de lado $x$ .

Contenido de la página

Ejemplos de uso de la expresión $ax^{2}+bx+c$ para representar áreas de figuras geométricas

Para determinar el área de un cuadrado o rectángulo, se debe multiplicar la base de la figura por su altura. En caso de desconocer las medidas de los lados, puede emplearse una literal para representar el lado más corto y, en función de esta medida, representar el largo del otro lado. Así, en este caso el producto será una expresión algebraica de segundo grado.

En la siguiente tabla se muestra la representación geométrica de un cuadrado y su ecuación para indicar el área ( $A$ ).

Cuadrado	Área ( $A$ )
Lado $x$	El área se relaciona con las medidas desconocidas de los lados. Si se conoce su área, es posible determinar la longitud de los lados. $A = x \cdot x = x^{2}$
Lado $2x$	Si los lados de un cuadrado miden el doble de la longitud de $x$ , el área aumenta. El cuadrado verde cabe cuatro veces en el azul, es decir, el área del cuadrado azul es cuatro veces la del cuadrado verde. La ecuación que relaciona el área y las medidas de los lados se expresa como: $A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$

Ejemplos resueltos

Un cuadrado tiene lado $x$ . ¿Cuál es su área?

El área de un cuadrado es lado por lado: $A = x \cdot x = x^{2}$ .

Un cuadrado tiene lado $2x$ . ¿Cuál es su área y cómo se compara con la de un cuadrado de lado $x$ ?

El área es $A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$ . Comparada con $x^{2}$ , es cuatro veces mayor.

Tabla

Cuadrado	Área (A)
Lado $x$	$A = x \cdot x = x^{2}$
Lado $2x$	$A = 2x \cdot 2x = 4x^{2}$

Diagrama

graph TD
    A[Cuadrado de lado x] --> B[Área = x²]
    C[Cuadrado de lado 2x] --> D[Área = 4x²]
    B --> E[Relación: 4 veces]
    D --> E

Fórmulas y ecuaciones

A = $x^{2}$

A = $4x^{2}$

A = $ax^{2}$ + bx + c

A = x $\cdot$ x = $x^{2}$

A = 2x $\cdot$ 2x = $4x^{2}$

A = (x+3)(x+2) = $x^{2}$ + 5x + 6

Glosario (3)

Literal: Letra que representa una cantidad desconocida o variable.
Expresión algebraica de segundo grado: Expresión polinómica donde el mayor exponente de la variable es 2, de la forma $ax^{2}+bx+c$.
Área: Medida de la superficie de una figura geométrica, expresada en unidades cuadradas.

Preguntas para practicar

¿Por qué el área de un cuadrado de lado $2x$ es cuatro veces el área de un cuadrado de lado $x$?

Porque al duplicar la longitud del lado, el área se multiplica por el cuadrado del factor de escala, es decir, por $2^{2}=4$. Así, $4x^{2}$ es cuatro veces $x^{2}$.

Temas y conceptos clave

Representación de áreas con expresiones algebraicasExpresiones de segundo gradoUso de literales en geometríaÁrea como producto de base por alturaExpresión cuadrática ax² + bx + cRelación entre lado y área en cuadradosModelación algebraica de figuras geométricas

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Preguntas que la gente también hace

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación de monomios
• Concepto de área de cuadrados y rectángulos
• Uso de literales para representar cantidades desconocidas

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Factorización de expresiones de segundo grado para encontrar dimensiones

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Ejemplos de uso de la expresión $a x^{2}+b x+c$ para representar áreas de fi guras geométricas

Para determinar el área de un cuadrado o rectángulo, se debe multiplicar la base de la fi gura por su altura. En caso de desconocer las medidas de los lados, puede emplearse una literal para representar el lado más corto y, en función de esta medida,representar el largo del otro lado. Así, en este caso el producto será una expresión algebraica de segundo grado.

En la siguiente tabla se muestra la representación geométrica de un cuadrado y su ecuación para indicar el área (A).

お

Cuadrado	Area (A)
X	El área se relaciona con las medidas desconocidas de los lados. Sise conoce su área, es posible determinar la longitud de los lados. $A=x\circ x=x^{2}$
2x	Si los lados de un cuadrado miden el doble de la longitud de x, el área aumenta. Y El cuadrado verde cabe cuatro veces en el azul, es decir, el área del cuadrado azul es cuatro veces la del cuadrado verde. La ecuación que relaciona el área y las medidas de los lados se expresa como: $A=2x\cdot2x=4x^{2}$ $\text{[math]}$ src="imgs/img_in_image_box_745_1070_905_1247.jpg" alt="Image" />