Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Área de cuadrados y rectángulos: del modelo geométrico a la expresión algebraica

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Respuesta rápida

Rectángulo: $A=x(x+b)=x^{2}+bx$ . Figura con tiras: $A=(2x+1)(1)=2x+1$ , verificado como $x+x+1=2x+1$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 21

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1

Se parte de un cuadrado de lado $x$ . Si se incrementa la longitud de dos lados opuestos (la base) en una cantidad $b$ , se obtiene un rectángulo de base $x+b$ y altura $x$ .

El área del cuadrado original es $A=x\cdot x=x^{2}$ .
El área del rectángulo obtenido es el producto de la base por la altura: $A=(x+b)\cdot x$ .
Se aplica la propiedad distributiva: $A=x\cdot x+x\cdot b$ .
Se simplifica: $A=x^{2}+bx$ .

Respuesta orientativa: el incremento de la base transforma el cuadrado en un rectángulo cuya área es $A=x^{2}+bx$ ; el término $bx$ mide exactamente cuánto aumentó el área.

Paso 2

En la segunda tabla se descompone una figura formada por un cuadrado grande de lado $x$ , dos rectángulos de base $1$ y altura $x$ , y un cuadrado pequeño de lado $1$ .

El largo total de la figura es la suma de las longitudes: $x+x+1=2x+1$ .
El área total, tomando la figura como un solo rectángulo de largo $2x+1$ y ancho $1$ , es $A=(2x+1)(1)$ .
Al multiplicar por $1$ : $A=2x+1$ .

Respuesta orientativa: el área total de la figura es $A=2x+1$ .

Paso 3

Se comprueba el resultado sumando las áreas parciales.

Área de cada rectángulo de base $1$ y altura $x$ : $x\cdot 1=x$ .
Como hay dos rectángulos iguales: $x+x=2x$ .
Área del cuadrado pequeño de lado $1$ : $1\cdot 1=1$ .
Área total: $A=2x+1$ .

Respuesta orientativa: ambas descomposiciones coinciden, $A=2x+1$ , lo que confirma que el modelo geométrico y la expresión algebraica representan la misma área.

Contenido de la página

Al incrementar la longitud de dos lados opuestos del cuadrado en una cantidad $b$ , se obtiene un rectángulo. Es decir, al incrementar la base del cuadrado, su área también incrementa.

Rectángulo	Área (A)
Figura: rectángulo de altura $x$ y base $x+b$	$A=x(x+b)=x^{2}+bx$ $\n$ $A=x^{2}+bx$ $\n$ El producto de la base por la altura relaciona las medidas de los lados con el área del rectángulo. Se logra relacionar la longitud $(x)$ y el incremento $(b)$ con el área en una ecuación cuadrática.

Con base en el aumento de las áreas, se presentan los siguientes cuadrados y rectángulos:

Cuadrados y rectángulos	Área (A)
Cuadrado grande de lado $x$	$A=x^{2}$
Figura formada por dos rectángulos de base $1$ y altura $x$ , y un cuadrado de lado $1$	Al sumarse las longitudes $x$ , $x$ y $1$ , se establece el largo de la figura: $2x+1$ $\n$ El área total de la figura se calcula como: $A=(2x+1)(1)$ $\n$ $A=2x+1$ $\n$ También es posible determinar el área de cada figura, es decir, el área de cada rectángulo es: $x\cdot 1=x$ $\n$ Por su parte, el área del cuadrado es $1$ . $\n$ Al sumar las áreas de los rectángulos y el cuadrado, se determina el área total de la figura: $A=2x+1$

Cuadrados y rectángulos

Área (A)

Cuadrado grande de lado

x

A=x^{2}

Figura formada por dos rectángulos de base

1

y altura

x

, y un cuadrado de lado

1

Al sumarse las longitudes

x

x

1

, se establece el largo de la figura:

2x+1

\n

El área total de la figura se calcula como:

A=(2x+1)(1)

\n

A=2x+1

\n

También es posible determinar el área de cada figura, es decir, el área de cada rectángulo es:

x\cdot 1=x

\n

Por su parte, el área del cuadrado es

1

\n

Al sumar las áreas de los rectángulos y el cuadrado, se determina el área total de la figura:

A=2x+1

Ejemplos resueltos

Un cuadrado de lado $x$ aumenta su base en $b$ . Expresa el área del rectángulo resultante.

Base: $x+b$ . Altura: $x$ . Área: $A=(x+b)x=x^{2}+bx$ .

Determina el área total de una figura formada por dos rectángulos de $1\times x$ y un cuadrado de $1\times 1$ .

Largo total: $x+x+1=2x+1$ . Área: $A=(2x+1)(1)=2x+1$ . Verificación: $x+x+1=2x+1$ .

Tablas (2)

Rectángulo	Área (A)
Rectángulo de altura $x$ y base $x+b$	$A=x(x+b)=x^{2}+bx$

Cuadrados y rectángulos	Área (A)
Cuadrado de lado $x$	$A=x^{2}$
Dos rectángulos de $1\times x$ y un cuadrado de $1\times 1$	$A=(2x+1)(1)=2x+1$

Diagrama

graph TD
  A[Cuadrado de lado x] -->|Aumentar la base en b| B[Rectángulo de base x+b y altura x]
  B --> C[Área = x(x+b)]
  C --> D[Área = x² + bx]

Fórmulas y ecuaciones

$A=x(x+b)=x^{2}+bx$

A=(2x+1)(1)=2x+1

$A=x(x+b)=x^{2}+bx$

$A=x^{2}+bx$

$A=x^{2}$

2x+1

A=(2x+1)(1)

A=2x+1

$x\cdot$ 1=x

Glosario (4)

Área: Medida de la superficie de una figura, expresada como el producto de sus dimensiones.
Incremento: Cantidad $b$ que se suma a la longitud original de un lado.
Ecuación cuadrática: Igualdad algebraica en la que la variable aparece elevada al cuadrado, como $A=x^{2}+bx$.
Propiedad distributiva: Regla que permite multiplicar un factor por una suma: $a(b+c)=ab+ac$.

Preguntas para practicar

¿Por qué al aumentar la base de un cuadrado su área también aumenta?

Porque el área es el producto de la base por la altura; al incrementar la base en $b$, el área pasa de $x^{2}$ a $x^{2}+bx$, es decir, se agrega el término positivo $bx$.

¿Qué relación existe entre el modelo geométrico y la ecuación cuadrática?

El modelo geométrico muestra visualmente cómo se descompone la figura en cuadrados y rectángulos; esa descomposición se traduce en la expresión algebraica $x^{2}+bx$, que es una ecuación cuadrática cuando se iguala a un valor de área.

Temas y conceptos clave

Área de cuadrados y rectángulosIncremento de la base de un cuadradoExpresiones algebraicas del áreaEcuación cuadráticaÁrea como producto de base por alturaVariable x como longitudIncremento bPropiedad distributivaSuma de áreas parciales

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se obtiene la expresión x² + bx al aumentar la base de un cuadrado?

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¿Por qué el área de la figura con tiras es 2x + 1?

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¿Cómo se relaciona el modelo geométrico con la ecuación cuadrática?

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📌 Antes de leer esto

• Área de cuadrados y rectángulos
• Multiplicación de monomios y binomios
• Propiedad distributiva
• Uso de variables para representar longitudes

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Productos notables y factorización con modelos geométricos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1255 caracteres

Al incrementar la longitud de dos lados opuestos del cuadrado en una cantidad $b,$ se obtiene un rectángulo. Es decir, al incrementar la base del cuadrado, su área también incrementa.

Con base en el aumento de las áreas, se presentan los siguientes cuadrados y rectángulos:

茶

Rectángulo	Area(A)
6 $x+b$	El producto de la base por la altura relaciona las medidas de los lados con el área del rectángulo. Se logra relacionar la longitud (x) y el incremento (b) con el área en una ecuación cuadrática. $A=x(x+b)=x^{2}+bx$ $A=x^{2}+bx$

Cuadrados y rectángulos	Area(A)
	$A=x^{2}$
Al sumarse las longitudes x, x y 1, se establece el largo de la figura: El área total de la figura se calcula como: También es posible determinar el área de cada figura, es decir, el área de cada rectángulo es: Por su parte, el área del cuadrado es 1. Al sumar las áreas de los rectángulos y el cuadrado, se determina el área total de la figura: $x\circ1=x$ $A=2x+1$ $2x+1$ $\begin{aligned}A&=(2x+1)(1)\\A&=2x+1\end{aligned}$