Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes

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$2^{5}=32$ ; $y^{2}\times y^{3}=y^{5}$ ; $3^{1}\times3^{4}=243$ ; $\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{2}$ ; $\frac{7^{5}}{7^{3}}=49$ ; $(4^{2})^{3}=4096$ ; $9^{0}=1$ , $x^{0}=1$ con $x\ne0$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 24

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Explica por qué $2^{5}=32$ usando la definición de potenciación.

La base es $2$ y el exponente $5$ indica que $2$ se multiplica por sí mismo $5$ veces.
Se desarrolla el producto: $2^{5}=2\times2\times2\times2\times2$ .
Se multiplica paso a paso: $2\times2=4$ , $4\times2=8$ , $8\times2=16$ , $16\times2=32$ .

Respuesta

$2^{5}=32$ .

Ejercicio 2

Aplica la propiedad de multiplicación de potencias en $y^{2}\times y^{3}$ .

Las bases son iguales ( $y$ ), por lo que se conserva la base.
Se suman los exponentes: $y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}$ .
Se simplifica el exponente: $y^{2+3}=y^{5}$ .

Respuesta

$y^{5}$ .

Ejercicio 3

Calcula $3^{1}\times3^{4}$ usando la propiedad de multiplicación de potencias.

Misma base $3$ : se conserva y se suman los exponentes.
$3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}$ .
Se desarrolla: $3^{5}=3\times3\times3\times3\times3=243$ .

Respuesta

$3^{5}=243$ .

Ejercicio 4

Aplica la propiedad de división de potencias en $\frac{a^{8}}{a^{6}}$ con $a\ne0$ .

Las bases son iguales ( $a$ ), se conserva la base.
Se restan los exponentes: $\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}$ .
Se simplifica: $a^{8-6}=a^{2}$ .

Respuesta

$a^{2}$ .

Ejercicio 5

Calcula $\frac{7^{5}}{7^{3}}$ usando la propiedad de división de potencias.

Misma base $7$ : se conserva y se restan los exponentes.
$\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}$ .
Se desarrolla: $7^{2}=7\times7=49$ .

Respuesta

$7^{2}=49$ .

Ejercicio 6

Aplica la propiedad de potencia de una potencia en $(4^{2})^{3}$ .

Se conserva la base $4$ .
Se multiplican los exponentes: $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}$ .
Se simplifica el exponente: $4^{2\times3}=4^{6}$ .
Se desarrolla: $4^{6}=4\times4\times4\times4\times4\times4=4096$ .

Respuesta

$4^{6}=4096$ .

Ejercicio 7

Justifica por qué $9^{0}=1$ y $x^{0}=1$ con $x\ne0$ .

La propiedad del exponente cero indica que toda potencia con exponente $0$ es igual a $1$ si la base es distinta de cero.
En $9^{0}$ , la base $9\ne0$ , entonces $9^{0}=1$ .
En $x^{0}$ , se requiere $x\ne0$ para que la expresión esté definida; bajo esa condición $x^{0}=1$ .

Respuesta

$9^{0}=1$ y $x^{0}=1$ con $x\ne0$ .

Contenido de la página

Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes

La potenciación se puede pensar como la abreviatura de una multiplicación, es decir, es una simplificación de una multiplicación reiterada, cuya base corresponde al factor que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente.

$a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ veces}}=b$

Los elementos de la potenciación son base, exponente y potencia, donde $a$ es la base, $n$ el exponente y el resultado $b$ se denomina potencia.

Después de multiplicar $a$ consigo misma $n$ veces, el resultado es $b$ . Ejemplos:

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32,\quad 3^{4}=3\times3\times3\times3=81$

En la siguiente tabla se muestran las propiedades de los exponentes, la expresión que describe a cada una y algunos ejemplos.

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Multiplicación de potencias	$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$	Al multiplicar potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la suma de los exponentes de las bases.	$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ ; $3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$
División de potencias	Con $a$ distinto de cero, $\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$	Al dividir potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador y del denominador.	$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$ ; $\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$
Potencia de una potencia	$(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$	Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado conserva la base y el exponente es el producto de los exponentes.	$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$ ; $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$
Potencia con exponente cero	Si $a$ es distinto de cero, $a^{0}=1$	Toda potencia con exponente cero es igual a uno, siempre y cuando la base sea diferente de cero.	$x^{0}=1$ , con $x\ne0$ ; $9^{0}=1$

Ejemplos resueltos

Desarrolla $2^{5}$ .

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32$ .

Desarrolla $3^{4}$ .

$3^{4}=3\times3\times3\times3=81$ .

Simplifica $y^{2}\times y^{3}$ .

$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ .

Calcula $3^{1}\times3^{4}$ .

$3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$ .

Simplifica $\frac{a^{8}}{a^{6}}$ .

$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$ .

Calcula $\frac{7^{5}}{7^{3}}$ .

$\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$ .

Simplifica $(4^{2})^{3}$ .

$(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$ .

Evalúa $9^{0}$ y $x^{0}$ con $x\ne0$ .

$9^{0}=1$ y $x^{0}=1$ con $x\ne0$ .

Tabla

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Multiplicación de potencias	$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$	Al multiplicar potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la suma de los exponentes de las bases.	$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ ; $3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$
División de potencias	Con $a$ distinto de cero, $\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$	Al dividir potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador y del denominador.	$\frac{a^{8}}{a^{6}}=a^{8-6}=a^{2}$ ; $\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$
Potencia de una potencia	$(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$	Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado conserva la base y el exponente es el producto de los exponentes.	$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$ ; $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}=4096$
Potencia con exponente cero	Si $a$ es distinto de cero, $a^{0}=1$	Toda potencia con exponente cero es igual a uno, siempre y cuando la base sea diferente de cero.	$x^{0}=1$ , con $x\ne0$ ; $9^{0}=1$

Diagrama

flowchart LR
  A[Base a] --> C[Potencia a^n = b]
  B[Exponente n] --> C

Fórmulas y ecuaciones

$a^{n}\times$ $a^{m}=a^{n+m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}}$ $=a^{n-m}$

$(a^{n})^{m}=a^{n\times$ m}

$a^{0}=1,\$ $a\ne0$

$a^{n}=@@MATH_0@@_{n$ $\text{ veces}$ }=b

$a^{n}\times$ $a^{m}=a^{n+m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}}$ $=a^{n-m}$

$(a^{n})^{m}=a^{n\times$ m}

$a^{0}=1$

Glosario (5)

Potenciación: Operación que abrevia una multiplicación reiterada de un mismo factor.
Base: Factor que se multiplica por sí mismo en una potencia.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Potencia: Resultado de elevar una base a un exponente.
Exponente cero: Propiedad que indica que toda base distinta de cero elevada a cero es igual a uno.

Preguntas para practicar

¿Por qué la potenciación se considera una multiplicación abreviada?

Porque permite escribir de forma compacta el producto de un mismo factor repetido varias veces. La base indica el factor y el exponente el número de repeticiones. Así, en lugar de escribir 2×2×2×2×2 se escribe 2^5.

¿Qué condición debe cumplir la base para aplicar la propiedad del exponente cero?

La base debe ser distinta de cero, ya que 0^0 no está definido. Si la base es cualquier número real no nulo, entonces a^0=1. Esta condición evita indeterminaciones en el cálculo algebraico.

Temas y conceptos clave

PotenciaciónPropiedades de los exponentesOperaciones algebraicasbaseexponentepotenciamultiplicación de potenciasdivisión de potenciaspotencia de una potenciaexponente cero

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Figuras de la página (1)

Esquema que muestra los elementos de la potenciación: base, exponente y potencia, con la expresión a^n = b. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se multiplican potencias con la misma base?

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¿Cuál es la diferencia entre multiplicar y dividir potencias?

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¿Por qué cualquier número elevado a cero es igual a uno?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división de números enteros
• Concepto de base y exponente
• Uso de variables algebraicas

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Exponentes negativos y potencias con base fraccionaria

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Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes

$a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n veces}$

Los elementos de la potenciación son base, exponente y potencia, donde a es la base, n el exponente y el resultado b se denomina potencia.

Después de multiplicar a consigo misma n veces, el resultado es b. Ejemplos:

$2^{5}=2\times2\times2\times2\times2=32,\quad3^{4}=3\times3\times3\times3=81$

En la siguiente tabla se muestran las propiedades de los exponentes, la expresión que describe a cada una y algunos ejemplos.

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Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Multiplicación de potencias	$\alpha^{n}\times\alpha^{m}=\alpha^{n+m}$	Al multiplicar potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la suma de los exponentes de las bases.	$y^{2}\times y^{3}=y^{2+3}=y^{5}$ $3^{1}\times3^{4}=3^{1+4}=3^{5}=243$
División de potencias	Con a distinto de cero $\frac{\alpha^{n}}{\alpha^{m}}=\alpha^{n-m}$	Al dividir potencias con la misma base, el resultado es una potencia que conserva la base. Su exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador y del denominador.	$\frac{\alpha^{8}}{\alpha^{6}}=\alpha^{8-6}=\alpha^{2}$ $\frac{7^{5}}{7^{3}}=7^{5-3}=7^{2}=49$
Potencia de una potencia	$(\alpha^{n})^{m}=\alpha^{n\times m}$	Al elevar una potencia a otra potencia, el resultado conserva la base y el exponente es el producto de los exponentes.	$(y^{n})^{m}=y^{n\times m}$ $(4^{2})^{3}=4^{2\times3}=4^{6}$ $=4096$
Potencia con exponente cero	Si a es distinto de cero, $a^{0}=1$	Toda potencia con exponente cero esigual a uno, siempre y cuando la base sea diferente de cero.	$x^{0}=1,\cos x\ne0$ $9^{0}=1$