Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

SEP/CONALITEG

25/339

Propiedades de las potencias: producto, cociente y exponente negativo

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 25

25 de 339

Anterior Página 25 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

Ejemplo 1: $x^{3}+x^{5}$ . Ejemplo 2: $y^{13}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 25

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1

Realizar la operación aplicando las propiedades de las potencias: $x^{2}(x+x^{3})$ .

Se identifica un producto de dos factores: $x^{2}$ y $(x+x^{3})$ .
Se aplica la propiedad distributiva: $x^{2}\cdot x + x^{2}\cdot x^{3}$ .
Se aplica la multiplicación de potencias de igual base (se suman los exponentes): $x^{2+1}+x^{2+3}$
Se simplifica: $x^{3}+x^{5}$

Respuesta: $x^{3}+x^{5}$

Ejemplo 2

Utilizar las propiedades de las potencias para resolver: $\dfrac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$ .

En el numerador se multiplican potencias de igual base (se suman exponentes): $y^{10}\cdot y^{5}=y^{10+5}=y^{15}$
Se reescribe la expresión: $\frac{y^{15}}{y^{2}}$
Se aplica la división de potencias de igual base (se restan exponentes): $y^{15-2}=y^{13}$

Respuesta: $y^{13}$

Contenido de la página

Enseguida se muestran ejemplos para comprender con más detalle cómo se aplican las propiedades de las potencias.

Ejemplo 1

Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias: $x^{2}(x+x^{3})$ .

Obsérvese que se tiene un producto de dos factores: el primero es $x^{2}$ y el segundo, $x+x^{3}$ . Entonces, se aplica la propiedad distributiva y la multiplicación de potencia: primero con $x^{2}$ y $x$ , después $x^{2}$ con $x^{3}$ :

$x^{2}x+x^{2}x^{3}=x^{2+1}+x^{2+3}=x^{3}+x^{5}$

En este ejemplo se utilizó dos veces la multiplicación de potencias.

Ejemplo 2

Utilizar las propiedades de las potencias para resolver la siguiente expresión:

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$

Para resolverla se aplicarán dos propiedades de las potencias: en el numerador se multiplicarán las potencias y después el resultado se dividirá entre el denominador. Se inicia por el numerador.

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=\frac{y^{10+5}}{y^{2}}=\frac{y^{15}}{y^{2}}$

Tabla de propiedades

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Potencias de producto	$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$	La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre el producto.	$(2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4}=16\times625=10\,000$
Potencias de cocientes	$\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$ , con $b\neq0$	La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre la división.	$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81}$
Potencias con exponente negativo	$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ , con $a\neq0$	La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad. Su potencia cambia de signo.	$x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$ , $5^{-1}=\frac{1}{5}$

Ejemplos resueltos

Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias: $x^{2}(x+x^{3})$ .

Se aplica la propiedad distributiva: $x^{2}\cdot x+x^{2}\cdot x^{3}$ . Luego se multiplican potencias de igual base sumando exponentes: $x^{2+1}+x^{2+3}=x^{3}+x^{5}$ .

Utilizar las propiedades de las potencias para resolver: $\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$ .

En el numerador se multiplican potencias de igual base: $y^{10}\cdot y^{5}=y^{15}$ . Luego se divide entre $y^{2}$ restando exponentes: $y^{15-2}=y^{13}$ .

Tabla

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Potencias de producto	$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$	La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre el producto.	$(2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4}=16\times625=10\,000$
Potencias de cocientes	$\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$ , con $b\neq0$	La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre la división.	$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81}$
Potencias con exponente negativo	$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ , con $a\neq0$	La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad. Su potencia cambia de signo.	$x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$ , $5^{-1}=\frac{1}{5}$

Fórmulas y ecuaciones

$(a\times$ $b)^{n}=a^{n}\times$ $b^{n}$

$\left(@@MATH_0@@\right)^{n}=$ $\frac{a^{n}}{b^{n}}$

$a^{-n}=$ $\frac{1}{a^{n}}$

$(a\times$ $b)^{n}=a^{n}\times$ $b^{n}$

$\left(@@MATH_0@@\right)^{n}=$ $\frac{a^{n}}{b^{n}}$

$a^{-n}=$ $\frac{1}{a^{n}}$

$x^{2}(x+x^{3})=x^{3}+x^{5}$

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$ = $\frac{y^{15}}{y^{2}}$ $=y^{13}$

Glosario (4)

Potencia: Producto de factores iguales expresado como base elevada a un exponente.
Base: Factor que se multiplica por sí mismo en una potencia.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Inverso multiplicativo: Número que multiplicado por otro da como resultado 1.

Temas y conceptos clave

Propiedades de las potenciasPotencias de productoPotencias de cocienteExponente negativoPotencia de un productoPotencia de un cocienteExponente negativoMultiplicación de potencias de igual baseDivisión de potencias de igual base

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Número de página 24 con un icono decorativo. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se multiplican potencias de la misma base?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué pasa cuando un exponente es negativo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se aplica la potencia de un producto?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de potencia y base
• Multiplicación y división de números enteros
• Propiedad distributiva

Siguiente tema sugerido

Potencia de una potencia y exponente cero

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2072 caracteres

Enseguida se muestran ejemplos para comprender con más detalle cómo se aplican las propiedades de las potencias.

Ejemplo 1

Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias: $x^{2}(x+x^{3})$ 1

Obsérvese que se tiene un producto de dos factores: el primero es $x^{2}y$ elsegundo, $x+x^{3}$ . Entonces, se aplica la propiedad distributiva y la multiplicación de potencia: primero con $x^{2}y x,$ ,después $x^{2}$ con $x^{3};$

$x^{2}x+x^{2}x^{3}=x^{2+1}+x^{2+3}=x^{3}+x^{5}$

En este ejemplo se utilizó dos veces la multiplicación de potencias.

Ejemplo2

Utilizar las propiedades de las potencias para resolver la siguiente expresión:

Para resolverla se aplicarán dos propiedades de las potencias: en el numerador se multiplicarán las potencias y después el resultado se dividirá entre el denominador. Se inicia por el numerador.

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=\frac{y^{10+5}}{y^{2}}=\frac{y^{15}}{y^{2}}$

Propiedad	Expresión	Explicación	Ejemplos
Potencias de producto	$(\alpha\times b)^{n}=\alpha^{n}\times b^{n}$	La potencia de una multiplicación es igual a la multiplicación de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre el producto.	$(2\times5)^{4}=2^{4}\times5^{4}$ $\begin{aligned}&=16\times625\\&=10\ 000\end{aligned}$
Potencias de cocientes	Con b distinto de cero $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, se distribuye la potencia sobre la división.	$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81}$
Potencias con exponente negativo	Con a distinto de cero $\alpha^{-n}=\frac{1}{\alpha^n}$	La potencia negativa es igual al inverso multiplicativo de la cantidad. Su potencia cambia de signo.	$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ $5^{-1}=\frac{1}{5}$