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División de potencias y potencia de un producto

📄 ejemplo matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

$\dfrac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=y^{13}$ ; $x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}=x^{11}y^{12}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 26

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Simplificar la expresión $\dfrac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$ .

Se aplica el producto de potencias de igual base en el numerador: $y^{10}\cdot y^{5}=y^{10+5}=y^{15}$ .
La expresión queda $\dfrac{y^{15}}{y^{2}}$ .
Se aplica la división de potencias de igual base: $\dfrac{y^{15}}{y^{2}}=y^{15-2}=y^{13}$ .

Ejemplo 3

Desarrollar el producto $x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}$ .

Se aplica la potencia de un producto al segundo factor: $(x^{2}y^{4})^{3}=x^{2\times 3}y^{4\times 3}=x^{6}y^{12}$ .
La expresión queda $x^{5}(x^{6}y^{12})$ .
Se aplica el producto de potencias solo en la base $x$ , porque las bases $x$ y $y$ son distintas: $x^{5}\cdot x^{6}=x^{5+6}=x^{11}$ .
La base $y$ se conserva sin cambios: $y^{12}$ .

Respuesta: $x^{11}y^{12}$ .

Paso final

El texto cierra indicando el método general: identificar la propiedad aplicable, operar correctamente los exponentes y simplificar hasta la mínima expresión.

Respuesta orientativa: Para simplificar potencias conviene revisar primero si hay productos o cocientes de igual base, aplicar luego la potencia de un producto o de un cociente, y finalmente reducir los exponentes sumando, restando o multiplicando según corresponda.

Respuesta

$y^{13}$ .

Contenido de la página

Ahora se aplica la división de potencias:

$\frac{y^{15}}{y^{2}}=y^{15-2}=y^{13}$

Finalmente, se llega al resultado:

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=y^{13}$

Este proceso también se conoce como simplificación; con éste se reduce la operación algebraica a su mínima expresión.

Ejemplo 3

Desarrollar el siguiente producto:

$x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}$

En este ejemplo se aplicarán dos propiedades de las potencias: el producto de potencias, donde el primer factor es $x^{5}$ y el segundo factor es $(x^{2}y^{4})^{3}$ , y la potencia de productos al último factor.

Se comienza con la potencia de productos:

$x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}=x^{5}(x^{2\times 3}y^{4\times 3})=x^{5}(x^{6}y^{12})$

Ahora se realiza el producto de potencias. En este caso es importante notar que no todas las bases son iguales, de manera que sólo se aplica la propiedad en las expresiones con base $x$ :

$x^{5}(x^{6}y^{12})=x^{5+6}y^{12}=x^{11}y^{12}$

En este ejemplo se evidencia que, para realizar de forma correcta las operaciones de potenciación, en primer lugar se debe identificar qué propiedad de los exponentes se pueda aplicar. En segundo lugar, se debe trabajar la propiedad realizando de forma correcta las operaciones en los exponentes. En tercer lugar, si es necesario, se debe simplificar la expresión y así se encontrará el resultado final.

Ejemplos resueltos

Simplificar $\dfrac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$ .

Se multiplican las potencias del numerador: $y^{10}\cdot y^{5}=y^{15}$ . Luego se divide entre $y^{2}$ : $\dfrac{y^{15}}{y^{2}}=y^{15-2}=y^{13}$ .

Desarrollar $x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}$ .

Se aplica la potencia de un producto: $(x^{2}y^{4})^{3}=x^{6}y^{12}$ . Después se multiplican las potencias de base $x$ : $x^{5}\cdot x^{6}=x^{11}$ . La base $y$ se conserva: $y^{12}$ . Resultado: $x^{11}y^{12}$ .

Tabla

Propiedad	Expresión	Resultado
Producto de potencias	$a^{m}\cdot a^{n}$	$a^{m+n}$
División de potencias	$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$	$a^{m-n}$
Potencia de un producto	$(a^{m}b^{n})^{p}$	$a^{mp}b^{np}$

Diagrama

flowchart TD
  A[Expresion: x^5 (x^2 y^4)^3] --> B[Potencia de un producto]
  B --> C[(x^2)^3 (y^4)^3 = x^6 y^12]
  C --> D[Producto de potencias de base x]
  D --> E[x^5 * x^6 = x^11]
  E --> F[Resultado: x^11 y^12]

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a^{m}}{a^{n}}$ $=a^{m-n}$

$(a^{m}b^{n})^{p}=a^{mp}b^{np}$

$a^{m}\cdot$ $a^{n}=a^{m+n}$

$\frac{y^{15}}{y^{2}}$ $=y^{15-2}=y^{13}$

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}$ $=y^{13}$

$x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}=x^{5}(x^{2\times$ $3}y^{4\times$ $3})=x^{5}(x^{6}y^{12})$

$x^{5}(x^{6}y^{12})=x^{5+6}y^{12}=x^{11}y^{12}$

Glosario (4)

Potencia: Producto de un factor repetido varias veces; se escribe como base elevada a un exponente.
Base: Factor que se repite en una potencia.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Simplificación: Proceso de reducir una expresión algebraica a su mínima expresión.

Preguntas para practicar

¿Por qué en el Ejemplo 3 no se combinan los exponentes de $x$ y de $y$?

Porque la propiedad del producto de potencias exige que las bases sean iguales. Como $x$ y $y$ son bases distintas, solo se suman los exponentes de las potencias con base $x$, mientras que $y^{12}$ se conserva sin cambios.

Temas y conceptos clave

División de potencias de igual basePotencia de un productoSimplificación de expresiones algebraicasbaseexponenteproducto de potenciaspotencia de un productosimplificación

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división de números enteros
• Concepto de potencia y base
• Producto de potencias de igual base

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Potencia de un cociente y exponentes negativos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1431 caracteres

Ahora se aplica la división de potencias:

$\frac{y^{15}}{y^{2}}=y^{15-2}=y^{13}$

Finalmente, se llega al resultado:

$\frac{y^{10}y^{5}}{y^{2}}=y^{13}$

Este proceso también se conoce como simplificación; con éste se reduce la operación algebraica a su mínima expresión.

Ejemplo 3

Desarrollar el siguiente producto:

$x^{5}(x^{2}y^{4})^{3}$

Se comienza con la potencia de productos:

$x^{5}\left(x^{2}y^{4}\right)^{3}=x^{5}\left(x^{2\times3}y^{4\times3}\right)=x^{5}\left(x^{6}y^{12}\right)$

Ahora se realiza el producto de potencias. En este caso es importante notar que no todas las bases son iguales, de manera que sólo se aplica la propiedad en las expresiones con base x:

$x^{5}\left(x^{6}y^{12}\right)=x^{5+6}y^{12}=x^{11}y^{12}$

En este ejemplo se evidencia que, para realizar de forma correcta las operaciones de potenciación, en primer lugar se debe identifi car qué propiedad de los exponentes se pueda aplicar. En segundo lugar, se debe trabajar la propiedad realizando de forma correcta las operaciones en los exponentes. En tercer lugar, si es necesario, se debe simplificar la expresión y así se encontrará el resultado final.

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