Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Crecimiento exponencial de bacterias y leyes de los exponentes

📄 ejemplo matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Expresión inicial: $2^{t}$ . Con el factor 3: $2^{t}\times 3^{t}=6^{t}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 27

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 4

Una bacteria se duplica cada segundo. Se pide la expresión que modela el número de bacterias según los segundos transcurridos $t$ y, al introducir otra bacteria que acelera la reproducción en un factor 3, determinar la nueva expresión.

Paso 1: Modelar el crecimiento con una bacteria

En $t=0$ hay $1$ bacteria: $2^{0}=1$ .
En $t=1$ hay $2$ bacterias: $2^{1}=2$ .
En $t=2$ hay $4$ bacterias: $2^{2}=4$ .
El patrón es multiplicar por $2$ cada segundo, por lo que la expresión es:

$N(t)=2^{t}$

Respuesta orientativa: $N(t)=2^{t}$ .

Paso 2: Modelar la reproducción con el factor 3

La segunda bacteria se multiplica por $3$ cada segundo: $3^{t}$ .
Al multiplicar ambas cantidades se aplica la propiedad de potencias de productos:

$2^{t}\times 3^{t}=(2\times 3)^{t}$

Se simplifica el producto de las bases:

$(2\times 3)^{t}=6^{t}$

Respuesta orientativa: la nueva expresión es $6^{t}$ .

Paso 3: Verificación con valores

Para $t=1$ : $6^{1}=6$ .
Para $t=2$ : $6^{2}=36$ .
Coincide con $2^{2}\times 3^{2}=4\times 9=36$ .

Respuesta: $2^{t}\times 3^{t}=6^{t}$ .

Contenido de la página

Ejemplo 4

Una bacteria se reproduce rápidamente. Cada segundo se duplica la cantidad de microorganismos existentes, es decir, después de un segundo ya se tendrán dos bacterias; habrá cuatro bacterias después de dos segundos; después de tres segundos se tendrán ocho bacterias, y así sucesivamente (ver tabla).

La expresión que permite determinar el número de bacterias según los segundos transcurridos $t$ es $2^{t}$ .

Segundos	Número de bacterias
0	$2^{0}=1$
1	$2^{1}=2$
2	$2^{2}=4$

Al suponer que se introduce otra bacteria que acelera su reproducción en un factor 3; al multiplicar las cantidades se utiliza la propiedad de potencias de productos para determinar la reproducción:

$2^{t}\times 3^{t}=(2\times 3)^{t}=6^{t}$

Las leyes de los exponentes son esenciales para comprender y resolver las operaciones algebraicas e identificar cada propiedad de los exponentes. Saber cómo aplicarlas es esencial para resolver operaciones algebraicas.

Las leyes de los exponentes son útiles para resolver operaciones algebraicas en problemas de aplicación en distintos ámbitos de las ciencias, como la física, en la que se utilizan para expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes; en computación, para crear algoritmos y el conteo binario; en biología, para estudiar el crecimiento exponencial de algunas bacterias y virus; en economía y finanzas, para hacer proyecciones de ganancias y pérdidas, así como estimar el comportamiento del mercado financiero.

Ejemplos resueltos

Una bacteria se duplica cada segundo. ¿Qué expresión determina el número de bacterias según los segundos transcurridos $t$ ? Si se introduce otra bacteria que acelera la reproducción en un factor 3, ¿cuál es la nueva expresión?

En $t=0$ : $2^{0}=1$ bacteria.
En $t=1$ : $2^{1}=2$ bacterias.
En $t=2$ : $2^{2}=4$ bacterias.
La expresión es $2^{t}$ .
Con el factor 3: $2^{t}\times 3^{t}$ .
Se aplica la propiedad de potencias de productos: $2^{t}\times 3^{t}=(2\times 3)^{t}=6^{t}$ .

Respuesta: $2^{t}$ y $6^{t}$ .

Tabla

Segundos	Número de bacterias
0	$2^{0}=1$
1	$2^{1}=2$
2	$2^{2}=4$

Fórmulas y ecuaciones

$N(t)=2^{t}$

$a^{n}\times$ $b^{n}=(a\times$ $b)^{n}$

$2^{t}$

$2^{0}=1$

$2^{1}=2$

$2^{2}=4$

$2^{t}\times$ $3^{t}=(2\times$ $3)^{t}=6^{t}$

Glosario (4)

Potencia: Producto de multiplicar una base por sí misma tantas veces como indica el exponente.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Crecimiento exponencial: Aumento en el que una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo.
Propiedad de potencias de productos: Al multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente: $a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué las leyes de los exponentes son importantes en la ciencia y la vida cotidiana?

Las leyes de los exponentes permiten simplificar y resolver operaciones algebraicas con potencias. Se aplican en física para expresar cantidades muy grandes o pequeñas, en biología para modelar el crecimiento de bacterias y virus, en computación para el conteo binario y en economía para proyectar ganancias o pérdidas.

Temas y conceptos clave

Crecimiento exponencialLeyes de los exponentesPropiedad de potencias de productosPotenciaBaseExponenteDuplicaciónFactor de crecimiento

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¿Para qué sirven las leyes de los exponentes en la vida real?

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📌 Antes de leer esto

• Concepto de potencia y base
• Multiplicación de números naturales
• Interpretación de tablas de valores

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División de potencias con la misma base y exponente negativo

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Ejemplo4

La expresión que permite determinar el número de bacterias según los segundos transcurridos t es 2.

$2^{t}\times3^{t}=(2\times3)^{t}=6^{t}$

Las leyes de los exponentes son útiles para resolver operaciones algebraicas en problemas de aplicación en distintos ámbitos de las ciencias, como la fisica, en la que se utilizan para expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes; en computación,para crear algoritmos y el conteo binario; en biología, para estudiar el crecimiento exponencial de algunas bacterias y virus; en economia y finanzas, para hacer proyecciones de ganancias y pérdidas, así como estimar el comportamiento del mercado financiero.