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Propiedades de las desigualdades y planteamiento de inecuaciones

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Respuesta rápida

Propiedad: al multiplicar o dividir por un negativo, la desigualdad se invierte. Ejemplo 1: $x \ge 19.8$ . Ejemplo 2: $x \le 17$ cajas.

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Solución — Página 31

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Propiedad de inversión de la desigualdad

Si $a > b$ y $c$ es un número negativo, entonces $ac < bc$ .

Si $a < b$ y $c$ es un número negativo, entonces $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .

Respuesta orientativa: Al multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Esta propiedad es válida para cualquier representación de desigualdad.

Ejemplo 1

Un estudiante debe tener por lo menos 95 puntos de 100 en cinco exámenes para obtener una calificación de 10. Los resultados en cuatro exámenes anteriores fueron 19.3, 17.3, 20 y 18.6. Hallar la calificación del último examen que permita obtener 10 de calificación.

Se representa la calificación faltante como $x$ y se suma con las cuatro calificaciones anteriores:

$19.3 + 17.3 + 20 + 18.6 + x$

Se simplifica la suma de las calificaciones conocidas:

$75.2 + x$

Como la suma debe ser igual o mayor a 95, se plantea la desigualdad:

$75.2 + x \ge 95$

Se aplica la propiedad de la resta restando $75.2$ en ambos lados:

$75.2 - 75.2 + x \ge 95 - 75.2$

Se simplifica:

$x \ge 19.8$

Respuesta: El estudiante debe obtener un puntaje mayor o igual que $19.8$ en el último examen para obtener 10 de calificación.

Ejemplo 2

Un bote tiene una capacidad máxima de 300 kg de carga. Su conductor decide transportar cajas de 13 kg. Hallar el número de cajas que puede transportar el conductor en el bote, si el conductor pesa 79 kg.

Se representa el número de cajas como $x$ .
El peso total es el peso del conductor más el peso de las cajas:

$79 + 13x$

Este peso no debe superar los 300 kg:

$79 + 13x \le 300$

Se resta 79 en ambos lados:

$79 - 79 + 13x \le 300 - 79$

$13x \le 221$

Se divide entre 13 en ambos lados (positivo, no cambia el sentido):

$x \le \frac{221}{13}$

$x \le 17$

Respuesta: El conductor puede transportar como máximo 17 cajas.

Contenido de la página

Pero si cada lado de la ecuación se multiplica o divide por un número negativo, entonces el símbolo se invierte y cambia el conjunto solución.

Si $a > b$ y $c$ es un número negativo, entonces $ac < bc$ .

Si $a < b$ y $c$ es un número negativo, entonces $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .

Esta propiedad se cumple para todas las representaciones de desigualdad.

A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo hallar el conjunto solución de desigualdades usando las propiedades mencionadas y enmarcadas en diferentes contextos.

Ejemplo 1

Un estudiante debe tener por lo menos 95 puntos de 100 en cinco exámenes para obtener una calificación de 10. Los resultados del estudiante en cuatro exámenes anteriores fueron 19.3, 17.3, 20 y 18.6. Hallar la calificación del último examen que permita obtener 10 de calificación.

Para solucionar, primero se reescribe el problema en términos de una desigualdad. Se representa la calificación faltante como la variable $x$ y se suma con las cuatro calificaciones anteriores.

$19.3 + 17.3 + 20 + 18.6 + x$

Como la suma de las calificaciones debe ser igual o mayor a 95, entonces se expresa:

$75.2 + x \ge 95$

Para solucionar la desigualdad se usa la propiedad de la resta, y en ambos lados de la desigualdad se resta 75.2:

$75.2 - 75.2 + x \ge 95 - 75.2$

Se simplifica: $x \ge 19.8$

De esta manera el conjunto solución es $x \ge 19.8$ , es decir, el estudiante debe obtener un puntaje mayor o igual que 19.8 en el siguiente examen para obtener 10 de calificación.

Ejemplo 2

Ejemplos resueltos

Se plantea la desigualdad $19.3 + 17.3 + 20 + 18.6 + x \ge 95$ . Se simplifica a $75.2 + x \ge 95$ . Se resta 75.2 en ambos lados: $x \ge 19.8$ . El estudiante debe obtener al menos 19.8 en el último examen.

Se plantea la desigualdad $79 + 13x \le 300$ . Se resta 79: $13x \le 221$ . Se divide entre 13: $x \le 17$ . El conductor puede transportar como máximo 17 cajas.

Fórmulas y ecuaciones

a > b $\text{ y }$ c < 0 $\Rightarrow$ ac < bc

a < b $\text{ y }$ c < 0 $\Rightarrow$ $\frac{a}{c}$ > $\frac{b}{c}$

a > b $\text{ y }$ c < 0 $\Rightarrow$ ac < bc

a < b $\text{ y }$ c < 0 $\Rightarrow$ $\frac{a}{c}$ > $\frac{b}{c}$

75.2 + x $\ge$ 95

x $\ge$ 19.8

79 + 13x $\le$ 300

x $\le$ 17

Glosario (3)

Desigualdad: Expresión matemática que indica que dos cantidades no son iguales, usando símbolos como <, >, ≤, ≥.
Conjunto solución: Conjunto de todos los valores de la variable que hacen verdadera una desigualdad.
Inecuación: Desigualdad que contiene una o más variables y que se resuelve encontrando los valores que la satisfacen.

Temas y conceptos clave

Propiedades de las desigualdadesInversión del símbolo de desigualdadPlanteamiento y resolución de inecuacionesDesigualdadNúmero negativoConjunto soluciónVariableInecuación

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números racionales
• Símbolos de desigualdad: <, >, ≤, ≥
• Resolución de ecuaciones lineales

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📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1948 caracteres

Pero si cada lado de la ecuación se multiplica o divide por un número negativo, entonces el símbolo se invierte y cambia el conjunto solución.

Si $a>b y c\leq$ ;un número negativo, entonces $ac<bc$

$\mathrm{Si}_{\alpha}<\bar{b}\mathrm{~y}\mathrm{~c}\mathrm{~es}\mathrm{~un}\mathrm{~n}\mathrm{~i}\mathrm{~m}\mathrm{~r}\mathrm{~o}\mathrm{~neg}\mathrm{~n}\mathrm{~o},\mathrm{ent}\mathrm{on}\mathrm{c}=\frac{\bar{b}}{c}>\frac{\bar{b}}{c}$

Esta propiedad se cumple para todas las representaciones de desigualdad.

A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo hallar el conjunto solución de desigualdades usando las propiedades mencionadas y enmarcadas en diferentes contextos.

Ejemplo 1

Un estudiante debe tener por lo menos 95 puntos de 100 en cinco exámenes para obtener una califi cación de 10. Los resultados del estudiante en cuatro exámenes anteriores fueron 19.3, 17.3, 20 y 18.6. Hallar la calificación del último examen que permita obtener 10 de calificación.

Para solucionar, primero se reescribe el problema en términos de una desigualdad. Se representa la calificación faltante como la variable x y se suma con las cuatro califi caciones anteriores.

$19.3+17.3+20+18.6+x$

Como la suma de las calificaciones debe ser igual o mayor a 95,entonces se expresa:

$75.2+x\geq95$

Para solucionar la desigualdad se usa la propiedad de la resta, y en ambos lados de la desigualdad se resta 75.2:

$75.2-75.2+x\geq95-75.2$

Ejemplo 2

$\mathrm{Se\sim implicitca:~x\geq19.8}$

De esta manera el conjunto solución es x≥ 19.8, es decir, el estudiante debe obtener un puntaje mayor o igual que 19.8 en el siguiente examen para obtener 10 de calificación.

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