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Resolución de desigualdades algebraicas de una variable

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Respuesta rápida

La solución de la desigualdad es $x>-3$ . En el contexto del área del triángulo, el valor de $x$ debe cumplir $-3<x<1.5$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 33

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Resolver la desigualdad $\frac{-16x}{2}+\frac{24}{2}<36$ y determinar su conjunto solución.

Se simplifica cada fracción del lado izquierdo: $\frac{-16x}{2}+\frac{24}{2}<36$ $-8x+12<36$
Se aplica la propiedad de la resta: se resta $12$ en ambos lados. $-8x+12-12<36-12$ $-8x<24$
Se aplica la propiedad de la división entre $-8$ . Como el divisor es negativo, el símbolo de desigualdad se invierte. $\frac{-8x}{-8}>\frac{24}{-8}$ $x>-3$

Respuesta

$x>-3$ , es decir, el conjunto solución es $(-3,\infty)$ .

Ejercicio 2

Analizar la restricción del contexto: si la expresión representa el área de un triángulo, ¿qué valores de $x$ tienen sentido físico?

El área de un triángulo debe ser positiva, por lo que la expresión del área debe cumplir $A>0$ .
La expresión del área es $-8x+12$ ; se plantea $-8x+12>0$ .
Se resta $12$ : $-8x>-12$ .
Se divide entre $-8$ invirtiendo el símbolo: $x<\frac{-12}{-8}=1.5$ .
Combinando con el resultado anterior: $-3<x<1.5$ .

Respuesta

El valor de $x$ debe estar en el intervalo $-3<x<1.5$ para que el área sea positiva y tenga interpretación física.

Ejercicio 3

Verificar que $x=2$ no es válido en el contexto del área.

Se sustituye $x=2$ en la expresión del área: $-8(2)+12$ .
Se opera: $-16+12=-4$ .
El resultado es negativo, lo que no tiene sentido para un área.

Respuesta

$x=2$ produce un área negativa ( $-4$ ), por lo que no es una solución válida en el contexto físico.

Contenido de la página

A continuación, se presentan los pasos para simplificar la desigualdad, una vez realizada la multiplicación del numerador.

$\frac{-16x}{2}+\frac{24}{2}<36$

$-8x+12<36$

Para solucionar la desigualdad, primero se usa la propiedad de la resta: en ambos lados de la desigualdad se resta $12$ y se simplifica:

$-8x+12-12<36-12$

$-8x<24$

El siguiente paso es usar la propiedad de la división y ambos lados de la desigualdad se dividen entre $-8$ . Se va a dividir por un número negativo; por tanto, el símbolo de desigualdad debe invertirse:

$\frac{-8x}{-8}>\frac{24}{-8}$

$x>-3$

El conjunto solución es $x>-3$ , es decir, si se sustituye cualquier valor mayor que $-3$ en la expresión algebraica de la altura, la desigualdad que expresa el área del triángulo se cumple. Obsérvese que, para que este ejemplo tenga sentido, el valor de $x$ debe estar entre $-3<x<1.5$ , porque si se agrega un valor mayor que $1.5$ , por ejemplo $2$ , al sustituirlo en la expresión $-8(2)+12=-16+12=-4$ , el resultado estaría expresando un área negativa, y en este caso esa área no tiene una interpretación física.

Resolver una desigualdad algebraica con una sola variable implica hallar el conjunto de valores correspondientes a la variable. Para lograr esto se utilizan las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Recuérdese que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número negativo, el símbolo de desigualdad se invierte.

Las desigualdades algebraicas de una variable modelan situaciones en las que la solución es un conjunto de posibles valores que validan la desigualdad. Para dar solución a una desigualdad se aplican ciertas propiedades. Los ejemplos muestran cómo utilizar las propiedades de la desigualdad para la resolución de desigualdades algebraicas de una variable.

Ejemplos resueltos

Resolver la desigualdad $\frac{-16x}{2}+\frac{24}{2}<36$ .

Se simplifica: $-8x+12<36$ . Se resta $12$ : $-8x<24$ . Se divide entre $-8$ invirtiendo el símbolo: $x>-3$ . Solución: $x>-3$ .

Determinar la restricción del contexto si la expresión representa el área de un triángulo.

El área debe ser positiva: $-8x+12>0$ . Se resta $12$ : $-8x>-12$ . Se divide entre $-8$ invirtiendo: $x<1.5$ . Combinando con $x>-3$ : $-3<x<1.5$ .

Tabla

Paso	Operación	Propiedad aplicada
1	$\frac{-16x}{2}+\frac{24}{2}<36$	Simplificación de fracciones
2	$-8x+12<36$	Simplificación
3	$-8x+12-12<36-12$	Propiedad de la resta
4	$-8x<24$	Simplificación
5	$\frac{-8x}{-8}>\frac{24}{-8}$	Propiedad de la división (invierte símbolo)
6	$x>-3$	Simplificación

Diagrama

flowchart TD
    A[Desigualdad original: -16x/2 + 24/2 < 36] --> B[Simplificar: -8x + 12 < 36]
    B --> C[Restar 12: -8x < 24]
    C --> D[Dividir entre -8 e invertir: x > -3]
    D --> E[Conjunto solución: x > -3]
    E --> F[Restricción del contexto: -3 < x < 1.5]

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Si }$ a<b $\text{ y }$ c<0, $\text{ entonces }$ ac>bc

$\text{Si }$ a<b $\text{ y }$ c<0, $\text{ entonces }$ $\frac{a}{c}$ > $\frac{b}{c}$

$\frac{-16x}{2}$ + $\frac{24}{2}$ <36

-8x+12<36

-8x+12-12<36-12

-8x<24

$\frac{-8x}{-8}$ > $\frac{24}{-8}$

x>-3

-3<x<1.5

-8(2)+12=-16+12=-4

Glosario (5)

Desigualdad algebraica: Expresión matemática que compara dos cantidades mediante los símbolos $<$, $>$, $\le$ o $\ge$, e incluye una o más variables.
Conjunto solución: Conjunto de todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.
Propiedad de la resta: Si se resta el mismo número en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.
Propiedad de la división: Si se dividen ambos lados de una desigualdad entre un número positivo, la desigualdad se mantiene; si es negativo, se invierte el símbolo.
Intervalo: Conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos; puede ser abierto, cerrado o semiabierto.

Preguntas para practicar

¿Por qué se invierte el símbolo de desigualdad al dividir entre un número negativo?

Porque al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, el orden de los números en la recta numérica se invierte. Por ejemplo, si $2<3$, al multiplicar por $-1$ se obtiene $-2>-3$. Por lo tanto, el símbolo debe cambiar para mantener la verdad de la desigualdad.

¿Qué representa el conjunto solución de una desigualdad en el contexto de un problema geométrico?

Representa todos los valores de la variable que hacen que la expresión geométrica (como el área) tenga sentido físico, es decir, que sea positiva. En el ejemplo, $-3<x<1.5$ indica los valores de $x$ para los cuales el área del triángulo es válida.

Temas y conceptos clave

Desigualdades algebraicas de una variablePropiedades de la resta y la división en desigualdadesInversión del símbolo de desigualdadConjunto solución y restricciones del contextoDesigualdad algebraicaPropiedad de la restaPropiedad de la divisiónInversión del símboloConjunto soluciónIntervaloÁrea positiva

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve una desigualdad de una variable paso a paso?

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¿Cuándo se invierte el símbolo de desigualdad al dividir?

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¿Qué significa el conjunto solución de una desigualdad?

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¿Cómo se aplican las desigualdades al área de figuras geométricas?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Simplificación de fracciones algebraicas
• Solución de ecuaciones lineales de una variable
• Concepto de área de figuras geométricas

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Representación gráfica de desigualdades en la recta numérica

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1883 caracteres

A continuación, se presentan los pasos para simplifi car la desigualad,una vez realizada la multiplicación del numerador.

$\frac{-16x}{2}+\frac{24}{2}<36$

Para solucionar la desigualdad, primero se usa la propiedad de la resta: en ambos lados de la desigualdad se resta 12 y se simplifi ca:

$-8x+12-12<36-12$

$-8x<24$

El siguiente paso es usar la propiedad de la división y ambos lados de la desigualdad se dividen entre —8. Se va a dividir por un número negativo; por tanto, el símbolo de desigualdad debe invertirse:

$\frac{-8x}{-8}>\frac{24}{-8}$

$x>-3$

El conjunto solución es $x>-3$ , es decir, si se sustituye cualquier valor mayor $\mathrm{que}-3$ en la expresión algebraica de la altura, la desigualdad que expresa el área del triángulo se cumple. Obsérvese que, para que este ejemplo tenga sentido, el valor de x debe estar entre $-3<x<1.5$ , porque si se agrega un valor mayor que 1.5, por ejemplo 2, al sustituirlo en la expresión $-8(2)+12=-16+12=-4$ , el resultado estaria expresando un área negativa, y en este caso esa área no tiene una interpretación fisica.

Resolver una desigualdad algebraica con una sola variable implica hallar el conjunto de valores correspondientes a la variable. Para lograr esto se utilizan las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Recuérdese que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número negativo, el símbolo de desigualdad se invierte.