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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Respuesta rápida

Sistema: $\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}$ . Constantes: $a,b,c,d,e,f$ . Incógnitas: $x,y$ . Métodos: reducción, igualación y sustitución.

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Solución — Página 34

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del contenido

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado que comparten las mismas variables $x$ y $y$ . Su forma general es:

$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$

$a, b, c, d, e, f$ son constantes (valores conocidos).
$x, y$ son las incógnitas (valores desconocidos).

¿Qué significa resolver el sistema?

Se buscan pares ordenados $(x, y)$ .
Al sustituir ese par en la primera ecuación, la igualdad debe cumplirse.
Al sustituirlo en la segunda ecuación, también debe cumplirse.
Es decir, la solución satisface simultáneamente ambas ecuaciones.

Métodos de resolución mencionados en la página:

Reducción (suma y resta): se elimina una incógnita sumando o restando las ecuaciones.
Igualación: se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones.
Sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se reemplaza en la otra.

Ejemplo ilustrativo (para comprender la definición):

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Sumando ambas ecuaciones: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ .
Sustituyendo en la primera: $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$ .
Verificación: $3 + 2 = 5$ ✓ y $3 - 2 = 1$ ✓.

Respuesta: el par ordenado $(3, 2)$ satisface simultáneamente ambas ecuaciones.

Paso 1

Identificar constantes e incógnitas en la forma general.

Respuesta orientativa: en $ax + by = c$ y $dx + ey = f$ , las letras $a, b, c, d, e, f$ son constantes conocidas, mientras que $x$ y $y$ son las incógnitas que se deben encontrar.

Paso 2

Reconocer qué significa que un par ordenado sea solución.

Respuesta orientativa: un par $(x, y)$ es solución si al sustituirlo en ambas ecuaciones se obtienen dos igualdades verdaderas al mismo tiempo.

Paso 3

Enumerar los métodos de resolución.

Respuesta orientativa: los tres métodos son reducción, igualación y sustitución; cada uno permite eliminar una incógnita para encontrar el valor de la otra.

Contenido de la página

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma:

$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$

donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ son valores conocidos llamados constantes, mientras que $x$ y $y$ son valores desconocidos llamados incógnitas. Para resolver este sistema se buscan los pares ordenados $(x, y)$ tales que, al sustituirlos en ambas ecuaciones, se satisfagan simultáneamente. Para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, existen tres métodos de resolución: reducción, igualación y sustitución.

Ejemplos resueltos

Verificar que el par ordenado $(3, 2)$ es solución del sistema $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ .

Sustituir $x = 3$ , $y = 2$ en la primera ecuación: $3 + 2 = 5$ ✓.
Sustituir en la segunda ecuación: $3 - 2 = 1$ ✓.
Como se cumplen ambas igualdades simultáneamente, $(3, 2)$ es solución del sistema.

Tabla

Elemento	Representación	Significado
Constantes	$a, b, c, d, e, f$	Valores conocidos
Incógnitas	$x, y$	Valores desconocidos
Solución	$(x, y)$	Par ordenado que satisface ambas ecuaciones
Métodos	Reducción, igualación, sustitución	Estrategias para resolver el sistema

Diagrama

flowchart TD
  A[Sistema de dos ecuaciones lineales] --> B[Forma general: ax+by=c, dx+ey=f]
  A --> C[Constantes: a, b, c, d, e, f]
  A --> D[Incógnitas: x, y]
  A --> E[Métodos de resolución]
  E --> F[Reducción]
  E --> G[Igualación]
  E --> H[Sustitución]

Fórmulas y ecuaciones

$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$

ax + by = c

dx + ey = f

$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$

Glosario (7)

Sistema de ecuaciones lineales: Conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado que comparten las mismas incógnitas.
Constante: Valor conocido que no cambia dentro de una ecuación o sistema.
Incógnita: Valor desconocido que se busca al resolver una ecuación o sistema.
Par ordenado: Par de valores $(x, y)$ que puede ser solución de un sistema si satisface ambas ecuaciones.
Reducción: Método que consiste en sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita.
Igualación: Método que consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones.
Sustitución: Método que consiste en despejar una incógnita y reemplazarla en la otra ecuación.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que la solución de un sistema debe satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente?

Porque el par ordenado $(x, y)$ representa el punto donde las dos rectas se intersecan; si solo cumpliera una ecuación, pertenecería a una sola recta y no al punto común. La solución debe verificar las dos igualdades al mismo tiempo.

¿En qué se diferencian las constantes de las incógnitas en un sistema de ecuaciones?

Las constantes son valores conocidos que se escriben con letras como $a, b, c, d, e, f$ y no cambian; las incógnitas son valores desconocidos, representados por $x$ y $y$, que se deben encontrar al resolver el sistema.

Temas y conceptos clave

Sistemas de ecuaciones linealesEcuaciones con dos incógnitasMétodos de resolución de sistemas 2x2Sistema de ecuaciones linealesConstantesIncógnitasPar ordenado soluciónReducciónIgualaciónSustitución

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Franja decorativa color morado con patrones geométricos y motivos inspirados en textiles tradicionales mexicanos. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?

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¿Cuáles son los tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones 2x2?

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¿Cómo saber si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones?

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📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita
• Operaciones básicas con números enteros y racionales
• Ubicar puntos en el plano cartesiano

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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma:

$\begin{aligned}\iint_{D}^{}ax+by&=c\\\iint_{D}^{}dx+ey&=f\end{aligned}$

donde $a,$ b,c, d,e yfson valores conocidos llamados constantes, mientras que x yy son valores desconocidos llamados incógnitas. Para resolver este sistema se buscan los pares ordenados $(x,y)$ tales que, al sustituirlos en ambas ecuaciones, se satisfagan simultáneamente. Para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, existen tres métodos de resolución: reducción,igualación y sustitución.

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