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Desigualdades lineales: aplicaciones en transporte y geometría

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Respuesta rápida

Ejemplo 1: $n \le 17$ (máximo 17 cajas). Ejemplo 3: $0 < h < 9$ m, con $x \in (-3, 1.5)$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 32

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1 (continuación)

Se resuelve la desigualdad $13n + 79 \le 300$ para encontrar cuántas cajas de masa 13 kg puede transportar un bote con capacidad máxima de 300 kg, considerando la masa del conductor de 79 kg.

Se plantea la desigualdad: $13n + 79 \le 300$ .
Se aplica la propiedad de la resta: se resta 79 en ambos lados. $13n + 79 - 79 \le 300 - 79$
Se simplifica: $13n \le 221$ .
Se aplica la propiedad de la división: se dividen ambos lados entre 13. $\frac{13n}{13} \le \frac{221}{13}$
Se simplifica: $n \le 17$ .

Respuesta: El conjunto solución es $n \le 17$ . Se pueden transportar como máximo 17 cajas.

Ejemplo 3

Se quiere construir un triángulo con base $b = 8$ m y altura $h = -2x + 3$ , tal que su área sea menor que $36$ m $^2$ . Encontrar los valores posibles de la altura.

Se usa la fórmula del área del triángulo: $A = \frac{bh}{2}$ .
Se sustituyen los datos: $b = 8$ , $h = -2x + 3$ , $A < 36$ . $\frac{8(-2x + 3)}{2} < 36$
Se simplifica el factor 8/2 = 4: $4(-2x + 3) < 36$
Se divide entre 4 en ambos lados: $-2x + 3 < 9$
Se resta 3 en ambos lados: $-2x < 6$
Se divide entre -2 (la desigualdad se invierte): $x > -3$
La altura es $h = -2x + 3$ . Como $x > -3$ , entonces $-2x < 6$ , por lo que $h = -2x + 3 < 9$ . Además, la altura debe ser positiva: $-2x + 3 > 0 \Rightarrow x < 1.5$ .

Respuesta: La altura debe cumplir $0 < h < 9$ m, con $x$ en el intervalo $(-3, 1.5)$ .

Contenido de la página

Para solucionar el ejemplo, primero se reescribe el problema en términos de una desigualdad. La variable $n$ representará la cantidad de cajas que se pueden transportar. Se multiplica el número de cajas por la masa correspondiente a cada caja y se le suma la masa corporal del conductor.

$13n + 79$

Como la cantidad anterior debe ser menor o igual que 300, entonces se escribe:

$13n + 79 \le 300$

Para solucionar la desigualdad se usa la propiedad de la resta. En ambos lados de la desigualdad se resta 79 y se simplifica.

$13n + 79 - 79 \le 300 - 79$

$13n \le 221$

El siguiente paso es usar la propiedad de la división, ambos lados de la desigualdad se dividen entre 13 y se simplifica:

$\frac{13n}{13} \le \frac{221}{13}$

$n \le 17$

De esta manera, el conjunto solución es $n \le 17$ , es decir, las cajas que se pueden transportar en el bote son 17 o menos, para evitar que el bote se hunda por superar la capacidad máxima de carga.

Ejemplo 3

Se quiere construir un triángulo que tenga una base de 8 m y su altura esté limitada por la expresión $(-2x + 3)$ , siempre y cuando su área sea menor a $36\ \text{m}^2$ . Encontrar qué valores puede tener la altura del triángulo.

Para solucionar el ejemplo se reescribe el problema en términos de una desigualdad, al emplear la expresión para calcular el área de un triángulo $A = \frac{bh}{2}$ .

Al sustituir los datos del problema, se obtiene:

$\frac{8(-2x + 3)}{2} < 36$

Ejemplos resueltos

Un bote tiene capacidad máxima de 300 kg. Se transportan cajas de 13 kg cada una y el conductor pesa 79 kg. ¿Cuántas cajas se pueden transportar?

Se plantea $13n + 79 \le 300$ . Restando 79: $13n \le 221$ . Dividiendo entre 13: $n \le 17$ . Se pueden transportar hasta 17 cajas.

Se quiere construir un triángulo con base 8 m y altura $(-2x + 3)$ m, con área menor a 36 m $^2$ . Encontrar los valores posibles de la altura.

Se plantea $\frac{8(-2x + 3)}{2} < 36$ . Simplificando: $4(-2x + 3) < 36 \Rightarrow -2x + 3 < 9 \Rightarrow -2x < 6 \Rightarrow x > -3$ . La altura es $h = -2x + 3$ . Como $x > -3$ , $h < 9$ . Además $h > 0 \Rightarrow x < 1.5$ . Por tanto, $0 < h < 9$ m.

Fórmulas y ecuaciones

A = $\frac{bh}{2}$

13n + 79 $\le$ 300

13n $\le$ 221

n $\le$ 17

$\frac{8(-2x + 3)}{2}$ < 36

Glosario (4)

Desigualdad: Expresión matemática que indica que una cantidad es menor, mayor, menor o igual, o mayor o igual que otra.
Conjunto solución: Conjunto de todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.
Propiedad de la resta: Si a ambos lados de una desigualdad se resta el mismo número, la desigualdad se mantiene.
Propiedad de la división: Si ambos lados de una desigualdad se dividen entre un mismo número positivo, la desigualdad se mantiene; si es negativo, se invierte.

Temas y conceptos clave

Desigualdades linealesAplicaciones de desigualdadesDesigualdadConjunto soluciónPropiedad de la restaPropiedad de la divisiónÁrea de un triángulo

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📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales de una variable
• Conocer las propiedades de la igualdad
• Calcular el área de un triángulo

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Sistemas de desigualdades lineales

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Para solucionar el ejemplo, primero se reescribe el problema en términos de una desigualdad. La variable n representará la cantidad de cajas que se pueden transportar. Se multiplica el número de cajas por la masa correspondiente a cada caja y se le suma la masa corporal del conductor.

$13n+79$

Como la cantidad anterior debe ser menor o igual que 300,entonces se escribe:

$13n+79\leq300$

Para solucionar la desigualdad se usa la propiedad de la resta. En ambos lados de la desigualdad se resta $79y$ se simplifica.

$13n+79-79\leq300-79$

$13n\leq221$

El siguiente paso es usar la propiedad de la división, ambos lados de la desigualdad se dividen entre 13 y se simplifica:

$\frac{13n}{13}\leq\frac{221}{13}$

De esta manera, el conjunto solución es $n\leq17$ , es decir, las cajas que se pueden transportar en el bote son 17 o menos, para evitar que el bote se hunda por superar la capacidad máxima de carga.

Ejemplo 3

Se quiere construir un triángulo que tenga una base de 8 m y su altura esté limitada por la expresión $(-2x+3)$ ), siempre y cuando su área sea menor a $36\ m^2$ . Encontrar qué valores puede tener la altura del triángulo.

Para solucionar el ejemplo se reescribe el problema en términos de una desigualdad, al emplear la expresión para calcular el área de un triángulo $A=\frac{bh}{2}$

Al sustituir los datos del problema, se obtiene:

$\frac{8(-2x+3)}{2}<36$

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