Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

SEP/CONALITEG

36/339

Método de eliminación (suma y resta) para sistemas de ecuaciones lineales 2x2

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 36

36 de 339

Anterior Página 36 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

$y = 400$ ; sustituyendo, $x = 550$ . Solución del sistema: $(550, 400)$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 36

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1: Planteamiento del sistema

Se parte del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} 2x + 3y = 2300 \\ 3x + 2y = 2450 \end{cases}$

Al sumar directamente, ningún término se cancela porque los coeficientes de $x$ son $2$ y $3$ , y los de $y$ son $3$ y $2$ .

Paso 2: Igualar coeficientes de $x$ con signos opuestos

Se multiplica la primera ecuación por $3$ (coeficiente de $x$ en la segunda) y la segunda por $2$ (coeficiente de $x$ en la primera):

$\begin{cases} (3)(2x + 3y) = (3)(2300) \\ (2)(3x + 2y) = (2)(2450) \end{cases}$

$\begin{cases} 6x + 9y = 6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$

Paso 3: Verificar que no se cancela

Al sumar los términos semejantes:

$6x + 6x = 12x, \quad 9y + 4y = 13y, \quad 6900 + 4900 = 11800$

Se obtiene $12x + 13y = 11800$ . La incógnita $x$ no se cancela porque ambos coeficientes son positivos.

Paso 4: Cambiar el signo de una ecuación

Para cancelar $x$ , se multiplica la primera ecuación por $-3$ :

$\begin{cases} (-3)(2x + 3y) = (-3)(2300) \\ (2)(3x + 2y) = (2)(2450) \end{cases}$

$\begin{cases} -6x - 9y = -6900 \\ 6x + 4y = 4900 \end{cases}$

Paso 5: Sumar y eliminar $x$

$(-6x + 6x) + (-9y + 4y) = -6900 + 4900$

$0x - 5y = -2000 \quad \Rightarrow \quad -5y = -2000$

Paso 6: Despejar $y$ con el inverso multiplicativo

El coeficiente de $y$ es $-5$ . Se multiplica por $-\frac{1}{5}$ en ambos lados:

$\left(-\frac{1}{5}\right)(-5y) = \left(-\frac{1}{5}\right)(-2000)$

$\frac{-5y}{-5} = \frac{-2000}{-5}$

$y = 400$

Respuesta: $y = 400$ . Sustituyendo en $2x + 3(400) = 2300$ se obtiene $2x = 1100$ , es decir $x = 550$ .

Contenido de la página

El resultado obtenido indica que, al sumar los términos con las mismas incógnitas, ninguna se cancela. Entonces, se elige eliminar una de ellas; por ejemplo, la incógnita $x$ . Para ello, los coeficientes de dicha incógnita deberán ser el mismo número, pero de signo contrario. Una manera de lograrlo es tomar el valor del coeficiente de $x$ de la primera ecuación, que es $2$ , y multiplicarlo por la segunda ecuación; después tomar el coeficiente de $x$ de la segunda ecuación que es $3$ , y multiplicarlo por la primera ecuación.

$\begin{aligned} &(3)\text{ por } 2x + 3y = 2300 \\ +\quad &(2)\text{ por } 3x + 2y = 2450 \\ \hline &6x + 9y = 6900 \\ &6x + 4y = 4900 \end{aligned}$

$\begin{aligned} &6x + 9y = 6900 \\ +\quad &6x + 4y = 4900 \\ \hline &12x + 13y = 11800 \end{aligned}$

En b), la incógnita $x$ no se cancela al sumar ya que ambos términos son positivos. Para cancelar, basta con cambiar el signo del $3$ que multiplica a la ecuación 1.

$\begin{aligned} &(-3)\text{ por } 2x + 3y = 2300 \\ +\quad &(2)\text{ por } 3x + 2y = 2450 \\ \hline &-6x - 9y = -6900 \\ &6x + 4y = 4900 \end{aligned}$

$\begin{aligned} &-6x - 9y = -6900 \\ +\quad &6x + 4y = 4900 \\ \hline &0x - 5y = -2000 \end{aligned}$

En d), la incógnita $x$ se eliminó, y se obtiene una ecuación lineal con una incógnita: $-5y = -2000$ , la cual se resuelve como sigue:

$-5y = -2000$	El coeficiente de la incógnita es $-5$ . Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un coeficiente de $1$ . La ecuación se multiplica por $-\frac{1}{5}$ .
e) $\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-5y) = \left(-\frac{1}{5}\right)\times(-2000)$ $\frac{-5y}{-5} = \frac{-2000}{-5}$ $y = 400$	Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada lado de la ecuación.

Ejemplos resueltos

Resolver el sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 2300 \\ 3x + 2y = 2450 \end{cases}$ por el método de eliminación.

Se multiplica la primera ecuación por $3$ y la segunda por $2$ para igualar coeficientes de $x$ : $6x + 9y = 6900$ y $6x + 4y = 4900$ . Al sumar no se cancela $x$ porque ambos son positivos. Se cambia el signo de la primera: $-6x - 9y = -6900$ . Sumando con la segunda: $-5y = -2000$ . Multiplicando por $-\frac{1}{5}$ : $y = 400$ . Sustituyendo: $2x + 1200 = 2300 \Rightarrow x = 550$ .

Tabla

$-5y = -2000$	El coeficiente de la incógnita es $-5$ . Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un coeficiente de $1$ . La ecuación se multiplica por $-\frac{1}{5}$ .
$\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-5y) = \left(-\frac{1}{5}\right)\times(-2000)$ $\frac{-5y}{-5} = \frac{-2000}{-5}$ $y = 400$	Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada lado de la ecuación.

Diagrama

flowchart TD
  A[Sistema 2x2] --> B{¿Se cancelan al sumar?}
  B -- No --> C[Multiplicar por coeficientes opuestos]
  B -- Sí --> D[Sumar ecuaciones]
  C --> D
  D --> E[Ecuación con una incógnita]
  E --> F[Despejar con inverso multiplicativo]
  F --> G[Solución y = 400]

Fórmulas y ecuaciones

$\left(-@@MATH_0@@\right)(-5y)$ = $\left(-@@MATH_1@@\right)(-2000)$

$\frac{-5y}{-5}$ = $\frac{-2000}{-5}$

2x + 3y = 2300

3x + 2y = 2450

6x + 9y = 6900

6x + 4y = 4900

12x + 13y = 11800

-6x - 9y = -6900

0x - 5y = -2000

-5y = -2000

y = 400

Glosario (4)

Método de eliminación: Técnica para resolver sistemas de ecuaciones que consiste en sumar o restar las ecuaciones para cancelar una de las incógnitas.
Inverso multiplicativo: Número que multiplicado por otro da como resultado 1; por ejemplo, el inverso de $-5$ es $-\frac{1}{5}$.
Términos semejantes: Términos que tienen la misma parte literal y pueden sumarse o restarse entre sí.
Propiedades de la igualdad: Reglas que permiten sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por un mismo número sin alterar la igualdad.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario que los coeficientes de la incógnita a eliminar tengan signos contrarios?

Porque al sumar las ecuaciones, los términos con la incógnita elegida deben anularse. Si ambos coeficientes tienen el mismo signo, se suman en lugar de cancelarse; al cambiar uno de signo, la suma da cero y la incógnita desaparece.

¿Qué propiedad de la igualdad se aplica al multiplicar ambos lados de la ecuación por $-\frac{1}{5}$?

Se aplica la propiedad del inverso multiplicativo y la propiedad uniforme de la igualdad: si se multiplican ambos miembros por el mismo número distinto de cero, la igualdad se conserva. Así el coeficiente de $y$ se convierte en $1$.

Temas y conceptos clave

Método de eliminaciónSistemas de ecuaciones lineales 2x2Inverso multiplicativoEliminación de una incógnitaCoeficientes opuestosSuma de ecuacionesInverso multiplicativoPropiedades de la igualdad

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones 2x2 por el método de eliminación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es el inverso multiplicativo y cómo se aplica para despejar una incógnita?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuándo conviene usar el método de suma y resta en lugar de sustitución o igualación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Ecuaciones lineales con una incógnita
• Propiedades de la igualdad
• Mínimo común múltiplo

Siguiente tema sugerido

Resolución de sistemas de ecuaciones 2x2 por el método de sustitución e igualación

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1507 caracteres

El resultado obtenido indica que, al sumar los términos con las mismas incógnitas, ninguna se cancela. Entonces, se elige eliminar una de ellas; por ejemplo, la incógnita x. Para ello, los coeficientes de dicha incógnita deberán ser el mismo número, pero de signo contrario. Una manera de lograrlo es tomar el valor del coefi ciente de x de la primera ecuación, que es 2, y multiplicarlo por la segunda ecuación; después tomar el coeficiente de x de la segunda ecuación que es 3, y multiplicarlo por la primera ecuación.

En b), la incógnita x no se cancela al sumar ya que ambos términos son positivos. Para cancelar, basta con cambiar el signo del 3que multiplica a la ecuación 1.

En d), la incógnita x se eliminó, y se obtiene una ecuación lineal con una incógnita: $-5y=-2000$ , la cual se resuelve como sigue:

求

回

$-5y=-2000$	El coeficiente de la incógnita es—5.Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un coeficiente de 1. La ecuación se multiplica $p o r-\frac{1}{5}$
e) $\begin{align}\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-5y)&=\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-2000)\\\frac{-5y}{-5}&=\frac{-2000}{-5}\\y&=400\end{align}$	Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada lado de la ecuación.