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Método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones 2x2

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Respuesta rápida

$x = 2500$ , $y = 1000$ . Máquina grande: $\$ 2500 $; máquina chica:$ $1000$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 39

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Resolver por el método de igualación el sistema:

$\begin{cases} x + y = 3500 \\ 2x - y = 4000 \end{cases}$

Se despeja la misma incógnita $x$ en ambas ecuaciones.

Ecuación 1: $x = 3500 - y$

Ecuación 2: $2x = 4000 + y \Rightarrow x = \dfrac{4000 + y}{2}$
Se igualan las dos expresiones obtenidas para $x$ :

$3500 - y = \frac{4000 + y}{2}$

Se multiplica por $2$ en ambos lados para eliminar el denominador:

$(2)\times(3500 - y) = (2)\times\left(\frac{4000 + y}{2}\right)$

$7000 - 2y = 4000 + y$

Se agrupan los términos con $y$ en el lado izquierdo y las constantes en el derecho:

$7000 - 2y + (-y) = 4000 + y + (-y)$

$7000 - 3y = 4000$

Se resta $7000$ en ambos lados:

$(-7000) + 7000 - 3y = (-7000) + 4000$

$-3y = -3000$

Se multiplica por $-\dfrac{1}{3}$ en ambos lados:

$-\frac{1}{3}\times(-3y) = -\frac{1}{3}\times(-3000)$

$y = 1000$

Se sustituye $y = 1000$ en la primera ecuación original para hallar $x$ :

$x + y = 3500$

$x + (1000) = 3500$

$x = 3500 - 1000$

$x = 2500$

Respuesta

$x = 2500$ , $y = 1000$ . El costo de la máquina grande es $\$ 2500 $y el de la máquina chica,$ $1000$ .

Ejercicio 2

Verificación de la solución en ambas ecuaciones originales.

En la ecuación 1: $x + y = 2500 + 1000 = 3500$ . Se cumple.
En la ecuación 2: $2x - y = 2(2500) - 1000 = 5000 - 1000 = 4000$ . Se cumple.

Reflexión final

El procedimiento por igualación puede variar según la incógnita que se elija despejar, pero el resultado del sistema no cambia si se opera correctamente. Conviene elegir la incógnita cuyo despeje resulte más sencillo para reducir errores de cálculo.

Respuesta

La solución $(2500, 1000)$ satisface el sistema.

Contenido de la página

Este sistema se resolverá por el método de igualación, el cual consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones dadas y posteriormente realizar la igualación de ambas expresiones. Se elige la incógnita $x$ , por tanto, se despeja a $x$ de ambas ecuaciones:

Ecuación 1	Ecuación 2
a) $x = 3500 - y$	b) $x = \dfrac{4000 + y}{2}$

Al obtener las expresiones para la incógnita $x$ de ambas ecuaciones, se procede a igualarlas:

$3500 - y = \frac{4000 + y}{2}$

La expresión anterior es una ecuación con una incógnita. Se resuelve simplificando las cantidades constantes para despejar $y$ .

$(2)\times(3500 - y) = (2)\times\left(\frac{4000 + y}{2}\right)$

$7000 - 2y = 4000 + y$

$7000 - 2y + (-y) = 4000 + y + (-y)$

$7000 - 3y = 4000$

$(-7000) + 7000 - 3y = (-7000) + 4000$

$-3y = -3000$

$-\frac{1}{3}\times(-3y) = -\frac{1}{3}\times(-3000)$

$y = 1000$

Se obtuvo el valor de una de las incógnitas. Enseguida se reemplaza este valor de $y$ en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Se elige la primera ecuación para determinar el valor de la incógnita $x$ :

$x + y = 3500$

$x + (1000) = 3500$

$x = 3500 - 1000$

$x = 2500$

Entonces, la solución del sistema es $x = 2500$ y $y = 1000$ . Por tanto, el costo de la máquina grande es de $\$ 2500 $y el de la máquina chica,$ $1000$ .

El procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones de $2\times2$ por el método de sustitución puede diferir debido a la elección de la incógnita que se va a despejar, pero esto no perjudica el resultado del sistema, siempre y cuando se resuelva de manera apropiada.

Ejemplos resueltos

Resolver por igualación el sistema $\begin{cases} x + y = 3500 \\ 2x - y = 4000 \end{cases}$ e interpretar la solución como el costo de dos máquinas.

Se despeja $x$ en ambas ecuaciones: $x = 3500 - y$ y $x = \frac{4000 + y}{2}$ . Se igualan: $3500 - y = \frac{4000 + y}{2}$ . Multiplicando por 2: $7000 - 2y = 4000 + y$ . Agrupando: $7000 - 3y = 4000 \Rightarrow -3y = -3000 \Rightarrow y = 1000$ . Sustituyendo en la primera ecuación: $x + 1000 = 3500 \Rightarrow x = 2500$ . La máquina grande cuesta $\$ 2500 $y la chica$ $1000$ .

Tabla

Ecuación 1	Ecuación 2
a) $x = 3500 - y$	b) $x = \dfrac{4000 + y}{2}$

Diagrama

flowchart TD
  A[Sistema 2x2] --> B[Despejar x en ecuación 1]
  A --> C[Despejar x en ecuación 2]
  B --> D[Igualar expresiones]
  C --> D
  D --> E[Ecuación con una incógnita]
  E --> F[Despejar y]
  F --> G[Sustituir y en ecuación original]
  G --> H[Obtener x]
  H --> I[Solución del sistema]

Fórmulas y ecuaciones

x = 3500 - y

x = $\frac{4000 + y}{2}$

3500 - y = $\frac{4000 + y}{2}$

x = 3500 - y

x = $\frac{4000 + y}{2}$

3500 - y = $\frac{4000 + y}{2}$

7000 - 2y = 4000 + y

7000 - 3y = 4000

-3y = -3000

y = 1000

x + 1000 = 3500

x = 2500

Glosario (4)

Método de igualación: Técnica para resolver sistemas de ecuaciones que consiste en despejar la misma incógnita en dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.
Sistema de ecuaciones 2x2: Conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente.
Despeje: Proceso de aislar una incógnita en un miembro de la ecuación aplicando operaciones inversas.
Solución del sistema: Par ordenado de valores que satisface al mismo tiempo todas las ecuaciones del sistema.

Preguntas para practicar

¿Por qué el método de igualación exige despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones?

Porque al obtener dos expresiones equivalentes a la misma incógnita, se pueden igualar y formar una sola ecuación con una incógnita. Esto permite reducir el sistema de dos variables a una ecuación lineal sencilla de resolver.

¿Qué ventajas tiene elegir una incógnita fácil de despejar al aplicar el método de igualación?

Elegir la incógnita con coeficiente 1 o con expresión más simple reduce el número de operaciones y disminuye la probabilidad de cometer errores. El resultado final es el mismo, pero el procedimiento se vuelve más claro y rápido.

Temas y conceptos clave

Método de igualaciónSistemas de ecuaciones lineales 2x2Resolución de problemas con dos incógnitasDespeje de la misma incógnita en ambas ecuacionesIgualación de expresionesEcuación con una incógnitaSolución única del sistemaVerificación

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones 2x2 por el método de igualación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre el método de igualación y el de sustitución?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo verificar que la solución de un sistema de ecuaciones es correcta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita
• Transposición de términos y propiedades de la igualdad

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Método de reducción (suma y resta) para sistemas de ecuaciones 2x2

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1661 caracteres

Este sistema se resolverá por el método de igualación, el cual consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones dadas y posteriormente realizar la igualación de ambas incógnitas. Se elige la incógnita x, por tanto, se despeja a x de ambas ecuaciones:

Al obtener las expresiones para la incógnita x de ambas ecuaciones, se procede a igualarlas:

$3500-y=\frac{4000+y}{2}$

La expresión anterior es una ecuación con una incógnita. Se resuelve simplificando las cantidades constantes para despejar y.

$\begin{aligned}(2)\times(3500-y)&=(2)\times\left(\frac{4000+y}{2}\right)\\7000-2y&=4000+y\\7000-2y+(-y)&=4000+y+(-y)\\7000-3y&=4000\\(-7000)+7000-3y&=(-7000)+4000\\-3y&=-3000\\-\frac{1}{3}\times(-3y)&=-\frac{1}{3}\times(-3000)\\y&=1000\end{aligned}$

la incógnita x:Se obtuvo el valor de una de las incógnitas. Enseguida se reem-plaza este valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones origi-nales. Se elige la primera ecuación para determinar el valor de $\begin{aligned}x+y&=3500\\x+(1000)&=3500\\x&=3500-1000\\x&=2500\end{aligned}$

Entonces, la solución del sistema es $x=2\ 500\ y=1\ 000$ . Por tanto, el costo de la máquina grande es de $2 500 y el de la máquina chica,$ 1 000.

El procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones de $2\times2$ porel método de sustitución puede diferir debido a la elección de la incógnita que se va a despejar, pero esto no perjudica el resultado del sistema, siempre y cuando se resuelva de manera apropiada.