Proporcionalidad inversa: constante y cálculo del valor faltante
Respuesta rápida
Ej. 1: x = 30 cubetas de 4 L; k = 120 L. Ej. 2: x = 8 días; k = 240. Fórmula: x = \frac{(a)(b)}{c}.
Solución — Página 44
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 1
Se envasa cierta cantidad de pintura en 6 cubetas de 20 L cada una, hasta llenarlas por completo. Hallar el número de cubetas de 4 L de capacidad que se requieren para envasar la misma cantidad de pintura.
- Identificamos los pares de valores correspondientes: 6 cubetas → 20 L y x cubetas → 4 L. Es una relación de proporcionalidad inversa porque al disminuir la capacidad de la cubeta, aumenta el número de cubetas necesarias.
- Planteamos la proporción inversa: 6 \cdot 20 = x \cdot 4.
- Despejamos x: x = \dfrac{(6)(20)}{4}.
- Operamos el numerador: x = \dfrac{120}{4}.
- Dividimos: x = 30.
Respuesta: Se requieren 30 cubetas de 4 L.
Verificación de la constante de proporcionalidad
- La constante es el producto de los valores correspondientes: k = (6)(20) = 120 L.
- Comprobamos con el otro par: (30)(4) = 120 L. Coincide.
Respuesta: La constante de proporcionalidad es k = 120 L.
Ejemplo 2
Cierta cantidad de alimento que comen 24 gallinas dura 10 días. Calcular el número de días que durará la misma cantidad de alimento para 30 gallinas.
- Identificamos los pares: 24 gallinas → 10 días y 30 gallinas → x días. Es proporcionalidad inversa: a más gallinas, menos días dura el alimento.
- Calculamos la constante de proporcionalidad: k = (24)(10) = 240 (raciones-gallina).
- Dividimos la constante entre el valor conocido: x = \dfrac{240}{30}.
- Operamos: x = 8.
Respuesta: La misma cantidad de alimento para 30 gallinas durará 8 días.
Fórmula general
Si a, b, c y x tienen relación de proporcionalidad inversa, con a : b :: c : x, entonces:
x = \frac{(a)(b)}{c}
Respuesta orientativa: Esta fórmula generaliza los dos ejemplos: se multiplican los valores conocidos del primer par y se divide entre el valor conocido del segundo par.
Contenido de la página
Ejemplo 1
Se envasa cierta cantidad de pintura en 6 cubetas de 20 L cada una, hasta llenarlas por completo. Hallar el número de cubetas de 4 L de capacidad que se requieren para envasar la misma cantidad de pintura. En este ejemplo, la relación de proporcionalidad inversa se plantea como sigue:
6 \text{ cubetas} \longrightarrow 20 \text{ L}
x \text{ cubetas} \longrightarrow 4 \text{ L}
El valor desconocido representa la cantidad de cubetas de 4 L requeridas para envasar la pintura. Se calcula de la forma siguiente:
x = \frac{(6 \text{ cubetas})(20 \text{ L})}{4 \text{ L}}
x = \frac{120}{4} \text{ cubetas}
x = 30 \text{ cubetas}
En esta situación, la constante de proporcionalidad es la cantidad total de pintura que se requiere envasar; es decir, el producto de dos valores correspondientes a la cantidad de cubetas y la capacidad de pintura en cada una. Por ejemplo:
(6 \text{ cubetas})\left(\frac{20 \text{ L}}{1 \text{ cubeta}}\right) = 120 \text{ L}
La constante de proporcionalidad es k = 120.
En una situación de proporcionalidad inversa, el valor faltante también se puede calcular mediante la constante de proporcionalidad de la siguiente manera: se calcula la constante de proporcionalidad y se divide entre el valor conocido correspondiente al valor faltante.
Ejemplo 2
Cierta cantidad de alimento que comen 24 gallinas dura 10 días. Calcular el número de días que durará la misma cantidad de alimento para 30 gallinas.
Dos pares de valores correspondientes que se conocen en esta situación son 24 gallinas y 10 días. Entonces, la constante de proporcionalidad es:
k = (24)(10) = 240
Para calcular la cantidad de días correspondiente a 30 gallinas, se divide la constante de proporcionalidad entre 30; esto es: 240 \div 30 = 8.
Por tanto, la misma cantidad de alimento para 30 gallinas durará 8 días.
Fórmula general
Si a, b, c y x son valores que tienen una relación de proporcionalidad inversa, tal que:
a : b \text{ (se lee } a \text{ es a } b) :: c : x \text{ (se lee } c \text{ es a } x),
donde a, b y c son valores conocidos y x es un valor desconocido, entonces el valor de x se calcula como sigue:
x = \frac{(a)(b)}{c}
Ejemplos resueltos
Se envasa cierta cantidad de pintura en 6 cubetas de 20 L cada una, hasta llenarlas por completo. Hallar el número de cubetas de 4 L de capacidad que se requieren para envasar la misma cantidad de pintura.
Proporción inversa: 6 \cdot 20 = x \cdot 4. Despejando: x = \frac{(6)(20)}{4} = \frac{120}{4} = 30. La constante es k = 120 L. Se requieren 30 cubetas de 4 L.
Cierta cantidad de alimento que comen 24 gallinas dura 10 días. Calcular el número de días que durará la misma cantidad de alimento para 30 gallinas.
Constante: k = (24)(10) = 240. Días para 30 gallinas: x = \frac{240}{30} = 8. El alimento durará 8 días.
Tabla
| Magnitud 1 | Magnitud 2 | Producto k |
|---|---|---|
| 6 cubetas | 20 L | 120 L |
| 30 cubetas | 4 L | 120 L |
| 24 gallinas | 10 días | 240 |
| 30 gallinas | 8 días | 240 |
Diagrama
graph LR
A[Proporcionalidad inversa] --> B[Producto constante k]
A --> C[Al aumentar una magnitud, la otra disminuye]
B --> D[k = a · b]
C --> E[x = (a·b)/c]
Fórmulas y ecuaciones
x = \frac{(a)(b)}{c}
k = a \cdot b
x = \frac{(6)(20)}{4}
x = \frac{120}{4}
x = 30
k = (6)(20) = 120
k = (24)(10) = 240
x = \frac{240}{30} = 8
x = \frac{(a)(b)}{c}
Glosario (4)
- Proporcionalidad inversa
- Relación entre dos magnitudes en la que, al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción; su producto permanece constante.
- Constante de proporcionalidad
- Valor k que resulta del producto de dos magnitudes inversamente proporcionales; se mantiene igual para todos los pares de valores correspondientes.
- Valor faltante
- Dato desconocido de una proporción que se calcula a partir de los valores conocidos.
- Razón
- Comparación entre dos cantidades mediante un cociente.
Preguntas para practicar
¿Por qué en la proporcionalidad inversa la constante se obtiene multiplicando los valores correspondientes?
Porque la constante representa el producto total que permanece fijo: la cantidad total de pintura o de alimento no cambia, solo cambia cómo se reparte entre más o menos recipientes o consumidores. Al multiplicar los pares correspondientes siempre se obtiene el mismo valor k.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula el valor faltante en una proporcionalidad inversa?
¿Qué es la constante de proporcionalidad inversa y cómo se obtiene?
¿Cuál es la diferencia entre proporcionalidad directa e inversa?
- • Multiplicación y división de números naturales
- • Concepto de razón y proporción
- • Proporcionalidad directa
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2147 caracteres
Ejemplo 1
Se envasa cierta cantidad de pintura en 6 cubetas de 20 1 cada una,hasta llenarlas por completo. Hallar el número de cubetas de 4 1 de capacidad que se requieren para envasar la misma cantidad de pintura. En este ejemplo, la relación de proporcionalidad inversa se plantea como sigue:
xcubetas→41
El valor desconocido representa la cantidad de cubetas de 4 I requeridas para envasar la pintura. Se calcula de la forma siguiente:
\begin{aligned}x&=\frac{(6\mathrm{cubtas})(20\mathrm{I})}{41}\\x&=\frac{120}{4}\mathrm{cubtas}\\x&=30\mathrm{cubtas}\end{aligned}
En esta situación, la constante de proporcionalidad es la cantidad total de pintura que se requiere envasar; es decir, el producto de dos valores correspondientes a la cantidad de cubetas y la capacidad de pintura en cada una. Por ejemplo:
\left(6\mathrm{cubtas}\right)\left(\frac{201}{1\mathrm{cubta}}\right)=1201
La constante de proporcionalidad es k=120
En una situación de proporcionalidad inversa, el valor faltante también se puede calcular mediante la constante de proporcionalidad de la siguiente manera: se calcula la constante de proporcionalidad y se divide entre el valor conocido correspondiente al valor faltante.
Ejemplo 2
Cierta cantidad de alimento que comen 24 gallinas dura 10 dias.Calcular el número de dias que durará la misma cantidad de alimento para 30 gallinas.
Dos pares de valores correspondientes que se cono cen en esta situación son 24 gallinas y 10 dias. En-k=(24)(10)=240 tonces, la constante de proporcionalidad es:
Para calcular la cantidad de dias correspondiente a 30 gallinas, se divide la constante de proporcionalidad entre 30; esto es:240\div30=8
Por tanto, la misma cantidad de alimento para 30 gallinas durará 8 dias.
Si a, b, c y x son valores que tienen una relación de proporcionalidad inversa, tal que:
a:b(\mathsf{s e}\;\mathsf{l e e}\;a\;e s\;a\;b)::c:x\;(\mathsf{s e}\;\mathsf{l e e}\;c\;e s\;a\;x),
donde a, b y c son valores conocidos y x es un valor desconocido, entonces el valor de x se calcula como sigue:x=\frac{(a)(b)}{c}
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